函數圖象平移求解析式的統一方法：順減逆加

江蘇省蘇州市吳江區笠澤實驗初級中學 張 良

函數圖象的平移有何規律？如何探究這個規律？從初一到高三，從一次函數到基本初等函數再到抽象函數，從中考到高考，很多函數的知識和考試熱點都涉及圖象平移，但對于學生掌握而言卻是很大的難題，關鍵在于每一個小的知識點都會有一個或多個規律解決，部分老師在教學過程中也是一味強求學生死記硬背，或是妄用“左加右減，上加下減”的口訣解決平移問題，不考慮學生實際解決問題時的困惑，這樣達不到教學的目的，也無法讓學生熟練掌握，更解決不了實際問題。所以筆者就從現實教學中諸多數學老師的教學規律中總結出一個統一的規律——“順減逆加”，這個規律能夠解決中學階段所有函數圖象平移求解析式的問題。對于這類問題，我們先從解決這類圖象平移問題的規律來探討“順減逆加”這種方法。

一、使用一般的平移規律時帶來的困惑

1.規律一：一次函數的圖象平移，其規律可由關系式來判斷和求解，圖象向右平移時，m增大；向左平移時，m減小。圖象向上平移時，b增大，向下平移時，b減小。反之亦然。

困惑一：對于這個規律，必須是的形式，許多老師在講解這個規律的時候并不注重強調函數形式，這就導致當函數表達式形式發生變化時，問題也隨之而至。如：一次函數的圖象是直線，求直線向右平移2個單位，再向下平移1個單位后的直線方程是什么？這個時候，學生就無法用上述規律解決。

2.規律二：二次函數的圖象平移，其規律可由其頂點式來判斷和解決。圖象向右平移時，h增大，向左平移時，h減小；圖象向上平移時，k增大，向下平移時，k減小，反之亦然，這其實就是我們耳熟能詳的口訣“左加右減，上加下減”。

困惑二：解決二次函數平移問題必須利用頂點式，但實際問題中我們發現最常見的是一般式，如每次都將一般式轉化成頂點式，是不是很麻煩呢？對于一般式向左平移2個單位，再向上平移1個單位，有沒有什么快速求解的方法呢？

3.規律三：三角函數的圖象平移，其規律只是將正（余）弦函數平移，即將的圖象向左或向右平行移動φ個單位長度，得到其他形式以此類推。

困惑三：在實際教學中，很多老師都是借用二次函數的平移口訣“左加右減，上加下減”，快速講授這個知識點，但實際問題中，學生遇到的是三角函數對于一些不會觸類旁通的學生而言，解決這個問題就很困難了。比如將向右平移個單位求解析式時，若不化簡成的形式，又該如何解決？

困惑四：該規律只針對基本初等函數的基本形式，若是遇到幾個初等函數的組合形式或是抽象函數的平移問題，就給學生制造了一個難題。例如：將函數向右平移2個單位，再向上平移1個單位的表達式是什么？

二、利用“順減逆加”法，輕松解決四大困惑

上述這些規律涉及不同的知識點、不同的平移方法，而且每種方法都有自己的局限性，對于學生而言，在每次接觸此類新知識的時候，就必須重新學習新的平移方法，但作為教學工作者而言，這些規律解決的是同一類問題，那么有沒有統一的規律來解決這類問題呢？通過筆者長期的教學實際，總結出這樣的規律來統一解決這類圖象平移求表達式的問題，即順減逆加！

1.順減逆加法的理解：

順（逆）是表示沿著（逆著）坐標軸的方向。

加（減）是需要在表示相應平移的坐標軸的字母上做加（減）運算。

例1 將函數向左平移2個單位，再向上平移一個單位后的解析式是什么？運用上述“順減逆加”的方法這樣解：

（這個時候需要在所平移的坐標軸表示的字母x上加2）（這個時候需要在所平移的坐標軸表示的字母y上減1），故平移后的函數解析式是

事實上，“順減逆加”這一規律來源于坐標系的平移。若原函數的圖象上任一點移動到，得到新圖象上的對應點坐標則那么故平移后的圖象所描述的函數解析式為其中，表示順著坐標軸移動，表示逆著坐標軸移動，因此，由這個理論支持的規律“順減逆加”是可以解決所有函數圖象的平移問題的。

用此方法解決上述幾個困惑如下：

2.困惑一的解決：例2：直線向右平移2個單位，再向下平移1個單位后的直線方程是什么？

3.困惑二的解決：例3：一般式向左平移2個單位，再向上平移1個單位后的解析式是什么？

4.困惑三的解決：例4：

向右平移個單位求解析式時，若不化簡成的形式，又該如何解決？

5.困惑四的解決：例5：將函數向右平移2個單位，再向上平移1個單位的表達式是什么？

三、“順減逆加”法在其他問題中的應用

由此可見，學生在以上四種函數圖象平移問題中出現的困惑，均可用“順減逆加”這一方法解決，該規律不僅優化了“左加右減，上加下減”的規律，也減輕了教師教學和學生學習上的重復性，更是統一了這類問題的解決方法。此規律不僅可用于解決函數圖象平移求解析式的難題，也可拓展到圓錐曲線的平移問題中。

例6 將圓向左平移1單位（即逆著x軸平移1個單位，則需在方程中的x上加1），再向上平移2個單位（即順著y軸平移2個單位，則需在方程中的y上減2），求得平移后圓的方程為整理得：

上例中只是例舉了圓的平移問題，對于圓錐曲線的其他圖形，如橢圓、雙曲線和拋物線均可使用。由此可見，“順減逆加”法的應用非常廣泛！

“道可道，非常道”，很多人把數學看成是公式的堆積，把定理作為該背誦的教條，把講解說成形式邏輯的推演，把考試弄成死記硬背按標準答案不敢越雷池一步的生搬硬套，殊不知從實際事實中歸納，從歸納中總結，從總結中尋找規律，從規律中總結方法，采取螺旋式上升的學習方法，可以輕松解決日常學習中的困惑。“順減逆加”就是筆者在實際教學經驗中歸納總結出的規律，學生掌握后在實際問題的解決中也得心應手，非常實用。日常的學習需要一點一滴的累積，一絲一毫的提高，由量變升華到質變，這樣才能更好地學習數學，更好地掌握學習的技巧。