回歸定義 謀求妙解

甘肅省會寧縣第五中學 薛蓮花

根據解析幾何曲線方程的定義，我們有如下結論：

若點M（x0,y0）在曲線C:f（x,y）=0上，則f（x0,y0）=0；反之，若f（x0,y0）=0成立，則點M（x0,y0）在曲線C:f（x,y）=0上。（＊）

在解題中，能夠運用這個結論，回歸定義，往往使解答突破常規思維，加大跨度，優化解題過程，收到事半功倍之效，從而顯示出數學的和諧美和單調美。

一、求定點

例1 已知a、b滿足則過點（a,0）、（0,b）兩點的直線必經過定點A，求A點的坐標。

分析：按照常規解法，首先建立直線的截距式方程然后利用題設條件消去一個參數，最后根據直線系方程求定點的方法得方程組，求出A點的坐標，計算量勢必很大。若將約束條件變形為，比較（1）（2），由結論（＊）知，點滿足方程（1），即A點的坐標為

二、求曲線方程

例2 若直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為（2,3），求經過（a1,b1）、（a2,b2）兩點的直線方程。

分析：如果采用求交點的方法處理，難度很大，不勝其煩。若能用上述結論，就會得到精彩的解法。

解：將點（2,3）代入兩式，得2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0，顯然，點（a1,b1）、（a2,b2）滿足方程2x+3y+1=0，此方程為所求。

例3 過點（3,4）作圓x2+y2=2的切線，求過兩切點的直線方程。

解：設兩切點為 P1（x1,y1）、P2（x2,y2），則切線方程為x1x+y1y=2，x2x+y2y=2。

∵點（3,4）在切線上，∴3x1+4y1=2，3x2+4y2=2。由結論（＊）知，點P1、P2在直線3x+4y=2上，而過兩點的直線是唯一的，所以，過兩切點的直線方程是3x+4y=2。

例4 已知圓M: x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0與圓N: x2+y2+2x+2y-2=0相交于A、B兩點，且這兩點平分圓N的圓周，求圓M的圓心的軌跡方程。

解：易得圓M的圓心為（m,n），圓N的圓心為（-1,-1）。兩式相減得2（m+1）x+2（n+1）y-m2-1=0 （1），此為兩圓公共弦所在直線方程。

∵A、B兩點平分圓N的圓周，∴點（-1,-1）在直線（1）上，從而m2+2m+2n+5=0，表示點（m,n）在曲線x2+2x+2y+5=0上，即為圓M的圓心的軌跡方程。

三、求對稱軸方程

例5 不重合的兩點P（x1,y1）、Q關于直線L對稱，求L的方程。

分析：基本思路：設L的方程為y=kx+b，由PQ和L的斜率互為負倒數，且中點在對稱直線L上，待定系數k、b，必然“小題大做”。若從求中點坐標入手，利用結論（＊），則問題輕巧解決。

解：設PQ的中點為（x0,y0），則：

∴由結論（＊）知，點（x0,y0）在直線y-2x=0上，即對稱軸L的方程為y=2x。

四、求最值

例6 已知4a2+b2=4，求點（a,b）到直線x+y-2=0的距離的最大值。

分析：如果由約束條件和點線距離公式建立距離的目標函數，既要進行繁雜的討論，函數式中又有根式，難以求解。聯想結論（＊），注意到點（a,b）在橢圓4x2+y2=4上，于是設a=cosθ,b=2sinθ,則距離：

五、證明有關問題

例7 求證：曲線C1:y=2x2-2與曲線C2:x=2y2-2的四個交點共圓。

分析：按照一般思路，先求出四個交點的坐標，爾后由其中三點的坐標確定一圓的方程，最后驗證第四個交點在這個圓上。這樣證明，求交點，要解一個四次方程，耗時費力。由曲線方程的概念，轉換解決問題的角度，從設交點為突破口，問題迎刃而解。

解： 設 C1、C2的 四 個 交 點 為（xi,yi）（i=1,2,3,4），則y1=2x12-2,x1=2y12-2，兩式相加得x1+y1=2x12-2+2y12-2，即這說明點（x1,y1）在圓2＝0上，即曲線C1和C2的四個交點共圓。

從以上幾例的分析與解證可以看出，認真鉆研課本，深刻理解概念，刻意挖掘知識的內涵，是突破常規思維，升華基本技能、基本方法的源泉。