充分暴露思維
——讓數學學習真正發生——“認識一個整體的幾分之一”教學例談

江蘇省常熟市琴湖小學 龐麗芳

一位特級教師在上完他的觀摩課之后，和我們分享他的教學體會時說了這樣一段話：我就是要讓學生在課堂上暴露錯誤，而且要充分暴露，因為你不讓學生在課堂上出現錯誤，那么課后就會錯，課后不錯，作業錯，作業不錯，考試錯……

是啊，一直以來，我們總認為完美的課堂，教師能層層鋪墊、環環相扣、步步為營，不出“岔子”，確保學生在教師的引領下順利地到達彼岸。事實上，作業中、考試時錯誤照樣出現，對于學生出現的錯誤，課后擠占時間不斷地強調，還是不容易糾正。其根源在于我們老師將學生的學習納入自己預設的軌道中，而不顧及學生學習的實際狀況，只關注教案的落實，沒有關注學生的思維，甚至可以說學習根本沒有真正發生。

真正的數學學習，是學生頭腦中的已有知識和經驗進行再創造的過程，這就需要充分暴露學生的思維，讓學生在不斷地探究過程中思維得到發展，而不是被動接受結論。那么，怎樣才能真正讓學習發生？

一、前測中暴露，激發沖突——“我要學”

孩子思維的問題暴露出來得越早越好，便于我們有時間及早設計應對方式，胸有成竹地展開教學活動，引導學生自主參與。因此，進行前測，根據學生暴露出的已有知識水平和思維偏差或者錯誤來設計讓學生的思維層次逐步提高的教學活動，這樣才能讓學生真正積極地投入到自己的學習中，才能讓學習真正發生。

例如教學三下的“認識一個整體的幾分之一”，學生從認識一個物體的幾分之一到認識一些物體組成的一個整體的幾分之一，是認識分數概念的一次飛躍，跨度比較大。我設計了這樣的前測：

猜一猜，畫一畫：

涂色的正方形是整個圖形的，把你想象的圖形畫完整。

學生畫的圖如下：

畫出第一種的圖形的學生占87%以上，第二種的占8%，而畫第三種的只占4%，學生對分數的概念認識是在一個物體平均分的基礎上，而教學一些物體組成的一個整體的幾分之一，對于三年級的學生來說難度比較大。基于前測的結果分析，明確了學生的學習開始之處為“一個整體”的概念的建立。

課始，就出示了學生的作業（上面的第一種圖），提問：你是怎么想的？

學生很快就說，把一個圖形平均分成3份，每一份就是它的三分之一。接著，我出示了第二種圖問：你覺得這樣畫，涂色部分是三分之一嗎？課堂上頓了一下，幾只小手舉起來了，“是的”“也可以這么畫”……接著讓學生說說為什么這樣也表示三分之一，“也是平均分分成三份，涂色部分是其中的一份”。遇到與自己想法不同的就會有好奇心，學習的積極性被激發，于是，出示了第三種圖，學生一片呼聲“不可以的”。顯然，學生的認識水平決定了他們對新知的認識呈現出了錯誤的想法，說明學生的已有知識和新知產生了沖突，這種暴露出來的錯誤正是本課教學的關鍵點、新知的生長點，我沒有做出任何評價，請前測中這樣畫的學生上來說說想法：“分開的三個正方形，只要把它們平均分成三份，一個就是一份，就是三份中的一份，所以這樣畫也可以表示三分之一。”根據剛才學生的回答，我出示了這樣的圖形在黑板上：再把三個圖形分開，出示了：讓學生比一比兩幅圖的不同點和相同點，從而認識把三個分開的圖形也可以平均分成三份，一個正方形為一份，表示三分之一，不過分開的獨立的正方形，要進行平均分需要把它們看成是一個整體。初步感知了“一個整體”的概念 。

這是針對教學內容對學生進行前測，分析結果，充分了解學生思維層次的基礎上，有的放矢地設計一步步臺階，讓學生拾級而上，學生在此過程中不斷主動攀登，不斷看到新的風景，分數的含義從一個物體擴展到一些物體組成的一個整體，體會知識的不斷更新和積累，從而變“要我學”為“我要學”。

二、問題中暴露，啟發爭辯——“再創造”

數學教學不只強調讓學生掌握數學的知識，更為重要的是把學習數學知識的教學作為學生認識事物本質、訓練思維能力、掌握學習方法的手段。這樣的教學需要以問題驅動，讓學生經歷頭腦中已有經驗的“再創造”，當學生面對的是沒有統一答案、不知道背景的問題時，暴露出認識上的錯誤或者是偏差，正是課堂生成的資源，是幫助學生理解數學知識本質的落腳點。通過核心問題，喚醒學生自己的已有知識和經驗，通過師生互動、生生互動進行爭辯，完善頭腦中的數學知識，實現數學知識的再創造。

我們來看教學“一個整體的幾分之一”的教學片段：

……

師：現在，猴媽媽有一盤桃6個，平均分給兩只小猴，每只小猴吃到了這盤桃的幾分之幾？

生1：每只小猴吃到了這些桃的

師：現在出現了兩種不同的聲音，請你說說是怎么想的？

生1:6個桃，其中三個是一只小猴吃到的，吃到了6份中的3份，所以是

生2：因為是平均分成2份，每只小猴吃到了1份，所以是。

師：到底誰說得對？能不能用自己的方法說服對方？現在開始辯論。

生1：我覺得分母表示平均分的份數，分子表示取的份數，現在6個桃要平均分給兩只小猴，那么分母應該是2，一只小猴是一份，所以是

生2：6個桃不是6份嗎，其中的3個桃不是取了3份嗎？

生3：我畫了兩幅圖。第一幅是的意思，第二幅是的意思，所以我覺得平均分給2只小猴的話，每只小猴吃到的一份應該用表示，這里有3個表示1份。

……

學生對分數的認識始終容易受個數與份數的干擾，對于第一次出現“有一盤桃6個，平均分給兩只小猴，每只小猴吃到了這盤桃的幾分之幾？”這一核心問題，讓學生發表自己真實的想法，當學生出現對這個問題的不同想法時，也不急于幫助學生修正思維認知，而是讓學生互動，并在爭辯中喚起已有的知識——分數中分母和分子的意義，對于一個整體的幾分之一同樣適用，最終指向分數意義的本質，跟平均分的物體的個數無關，只跟平均分的份數和表示的份數有關。當學生思維暴露出錯誤的時候，只有把學生推到臺前，成為課堂的主角，才能真正進行主動思維，才能產生思維火花，掌握知識的本質，進一步完善自己頭腦中分數的意義。

三、活動中暴露，引導反思——“再認識”

要讓學生真正地學習，必須通過學生主動的數學活動，在活動中，隨著知識經驗的豐富而完善和發展思維。及時引導反思，讓學生有更多的機會闡述自己的想法，學生表述想法的過程也必然會促進他們的自我意識與自我反省，繼而完成對數學知識本質的再認識。

例如教學“認識一個整體的幾分之一”的鞏固練習環節，安排了操作活動：“18根小棒，分別拿出這些小棒的二分之一和三分之一。你還能拿出這堆小棒的幾分之一？”根據拿一拿相應的幾分之一所表示的根數，拿這些小棒的二分之一、三分之一，全體學生都能很快正確地拿出來，學生也能說出操作時的思考過程。而讓他們自己確定每次拿出這堆小棒的幾分之一，難度相對就大了，課堂上有的學生拿6根，說成了六分之一，顯然，學生頭腦中的6根小棒的根數干擾到份數，還是對分數的本質認識不深刻造成的。為此，引導學生通過動手操作來驗證自己的想法是否合理：18根小棒的六分之一應該怎么拿？并反思自己的六分之一是不是6根，再引導思考：怎么看6根是這些小棒的幾分之一？學生邊操作邊思考：6根6根地分，18根里面有三個六根，就是三分之一。接著讓學生將18根小棒還可以拿出幾分之一進行完整的梳理，提出能否有序地拿一拿，將拿1根、2根、3根、6根和9根五種不同的拿法和相應的幾分之一進行完整的系統化操作，以完善18根小棒的幾分之一，進一步感受18根小棒為一個整體的幾分之一的意義，實現了一個整體的幾分之一意義的“再認識”。

讓數學學習真正發生，要主動喚醒兒童內在的學習動力與積極性，讓他們以更自覺、更主動的姿態參與到數學學習的過程之中，引導他們的思維向縱深發展。這就需要我們老師站在學生的認知角度，提前了解學生的思維狀況，找準學習起點，激發學習需要；直面學生容易暴露錯誤的問題，啟發爭辯，讓學生經歷數學化的過程；引導學生主動參與數學活動，在錯誤中反思，在反思中發展思維，實現數學知識本質的“再認識”。

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]郅庭瑾.教會學生思維[M].北京：教育科學出版社，2003.