數學核心素養及其在課堂中的滲透

江蘇省蘇州市吳中區木瀆金山高級中學 顧維維

回顧課程修訂的變化歷程，由“知識課程體系”到“能力課程體系”以及通過這幾年的不斷探索嘗試，再到現在的“素養為立意的課程體系”。課程的修訂是要結合各學科實際，將核心素養的踐行落實到各個學科，怎樣將這樣一個整體的教育思想落實到數學這門學科上，怎樣將這一思想滲透到日常的數學教學中，是每個一線教育工作者亟待解決的問題，以下就圍繞這一話題提出筆者的一些具體想法。

一、核心素養概念的界定

素養，可以理解為素質與修養的結合，是指在先天的基礎上通過后天環境影響和教育訓練所獲得的內在的穩定的身心特征及品質結構，是對知識、行為習慣、能力等人格特征的綜合反映。核心素養從字面可理解為“關鍵的”“必要的”“基本的”“重要的”，居于核心地位的素養。綜合世界各國和地區對核心素養概念的界定，同時考慮到不同學科的角度對核心素養的研究以及我國的現實需求和教育實際，林崇德教授對核心素養作了如下界定：核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終生發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力。它是關于學生知識、技能、情感、態度及價值觀等多方面要求的結合體。

具體到數學核心素養，王尚志、史寧中等專家根據新課程標準及教育部研制的學生學習計劃，并結合學生認知和發展特點及學科特點，對數學核心素養作了如下界定：數學核心素養是適應個人終身發展及社會發展需求的具有數學基本特征的關鍵能力和必備品格。對數學核心素養可以從以下幾個方面來理解：

第一，數學核心素養是基于數學知識和技能又高于具體的數學知識和技能，不是具體的知識技能，也不是一般意義上的數學能力。

第二，它可以理解為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合能力。

第三，反映數學本質與數學思想，是在學習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性。

具體概括起來包括六個方面：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析。

二、數學抽象

數學抽象是指摒棄所研究對象的所有物理屬性，得到的數學研究對象的思維過程。對研究對象進行分析、比較、歸納總結提煉出“共性”或“本質屬性”，舍去非本質屬性，由感性認識轉變成抽象的規定，即用專業符號、術語或圖形來表示。

比如數學概念的形成過程就是一個典型的數學抽象過程，以橢圓的概念為例，創設以下抽象思維過程：

1.回顧圓的概念。

2.若將圓定義中的“一個定點”改為“兩個定點”，那么得到的點集又是什么？

3.利用提前準備好的材料（兩個圖釘和一根細繩），學生分組動手完成這個實驗，讓學生有個感性認識。

4.教師通過幾何畫板不斷改變動點到定點的距離，讓學生觀察數據有何規律，這是一個直觀理性感受的過程。

5.能用數學式子概括上述規律嗎？試著用數學語言抽象概括，在學生概括的基礎之上，給出抽象定義。

6.思維再抽象：不斷改變繩長或者兩圖釘之間的距離，得到的動點的軌跡是否一定是橢圓？

學生在上述問題的引導下進行自主觀察、分析、比較、總結概括，整個過程是學生自主完成的，由感性認識到理性認識進而抽象出橢圓概念的本質屬性的整個過程事實上就是學生數學抽象這種數學核心素養提高的過程。

類似的，以橢圓概念為類比對象，通過展示“拉鏈”動畫，同樣讓學生抽象概括出雙曲線的定義，前面橢圓作了鋪墊，對于雙曲線定義的抽象概括就會容易一些，讓學生再次領會這種數學抽象思維過程。

我們都知道，概念教學在數學教學中是重中之重，而數學概念的抽象過程又是培養學生數學抽象這種數學核心素養的絕佳“機會”，因此概念教學不能“直講”概念，只要教師在教學中給予足夠重視，采取以學生為主的自主探究方式，逐步滲透，學生的數學抽象就能在學習中得到培養，并為以后的學習打下基礎。

數學抽象的結果除了可以用數學術語表示以外，還可以用圖形或符號表示，比如糖水問題：從含有a克糖的b克糖水中加入c克糖，糖水變甜，其中從數學的角度解釋這一現象可以用一個不等式表示：

這也是一個簡單的數學建模過程，對于上述現象，也可以用圖形語言表示，如下圖所示：

又如立體幾何，首先以實際背景為依托給出三個公理并用數學符號表示，再以此為基礎推出線與線、線與面、面與面的位置關系，并給出了相應的數學符號表示，建立了數學符號體系，進而推出線面和面面平行的判定定理和性質定理，建立了一套統一性、完整性、整體性的數學知識和思想體系。在具體課堂中，可以很自然、很有條理地進行教學調控和滲透，培養學生的抽象能力。

三、直觀想象

直觀想象指的是依據空間想象和幾何直觀來感知事物的變化或形態，利用數學語言分析并解決數學問題的過程。具體包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化；利用數學語言分析數學問題，建立形與數的聯系，并構建相應的直觀模型，探索解決問題的思路。

下面從平面幾何和立體幾何兩方面各取一個實例來說明這一概念及如何逐步滲透在課堂中。

例1 已知直線l：圓C：（x-2）2+（y-1）2=1，p是l上一動點，Q是圓C上一動點，求PQ的最小值和最大值。

解析：在同一直角坐標系中作出該直線和圓，由題意可知線段PQ取得最值需要保證PQ所在的直線與直線l垂直，而滿足這一條件的線段有無數個，如何確定符合題意的P點和Q點？此時要有一定的教學等待，放慢教學的節奏，不能簡單給出結果，要給學生留有足夠的時間，適當引導，充分發揮學生的直觀想象。在這樣一個過程中，學生不難發現：過圓心C向直線l作垂線，垂足即為所求的P點，與圓的交點即為所求的Q點，不妨設圓心C到直線的距離為d,那么有：

擴展：設P,Q分別是圓C：和橢圓上的兩動點，求PQ長的最大值。解析：由題意作出相應圖形，如下圖所示：那么學生根據上題的解題經驗，結合具體圖形，發揮直觀想象，教師再適當適時引導一下，便可得到PQ長度的最大值可轉化為圓心C到動點Q的距離的最大值加上圓C半徑，即求兩動點間的最大值轉化為一定點到一動點距離的最大值，那么這樣一來，本題的關鍵就已解決，剩下的步驟可根據Q在橢圓上，設參數坐標解決。

例2 用膠水可以將若干個完全相同的小立方體作出積木模型。

嘗試1：需要多少個小立方體才能作出如圖所示的積木模型？

嘗試2：想用比實際少的小立方體來作出如圖所示的積木模型，可以用膠水黏出一個外部相同但內部是中空的模型，需要多少個小立方體？

嘗試3：現在想做一個6個小正方體長，5個小正方體寬，4個小立方高的積木模型。假如用最少的小立方體，并在內部留出可能最大的空心空間，最少需要幾個小立方體？

解析：本題的原型是一道(國際學生評估項目)數學素養測試題，在學習立體幾何初，此題就可以應用到我們的課堂上，它是一個實際問題，不通過實際動手做模型也可以很好解決，在課堂上，教師只需用PPT展示這樣一個3階立體圖形，這個像魔方一樣的積木模型首先會引起學生的研究興趣，通過逐步深入分析，學生借助空間想象和基本立體理論知識建立了形與數的聯系，最終可以很自然地解決這樣一個問題。

“直觀想象”素養的培養往往是教學中最容易忽視的。比如有些教師在處理一些作業或例題時，認為某些結果是很自然的，就忽視了學生的感受，學生并不是“很自然”，那么由這樣一個“不自然”到“很自然”的過程就是“直觀想象”這種數學核心素養培養的過程。

學生數學核心素養的培養是一個逐步的長期的過程，教師應堅守這一過程并重視起來，首先應重視自身數學核心素養的提升，學習新的教學知識和教學理念，為學生創造良好的教育環境；其次是重視學生，尤其在進行教學設計時，要敢于創新，不妨精心選取或設計一些合適案例，采取以學生為主、全程參與的探究方式開展教學，聚焦核心問題，深入探討。在教學中通過這種逐步滲透的方式，便能在一定程度上取得逐步培養學生的數學核心素養的效果。