一而再，再而三，試題三現見真顏

鄭俊輝

【摘要】數學核心素養不是指具體的知識與技能，而是指能夠反映數學本質與數學思想，在數學學習過程中形成的具有綜合性、階段性、持久性的一種數學能力。從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點。

【關鍵詞】數學 核心素養 不等式 試題講評

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）20-0118-01

一次高三模考結束，筆者所在的一個磨課團隊安排了一次試卷講評課的磨課活動。結合考試中的第16題（考查基本不等式的知識），筆者在進行試卷講評時，就數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上進行了探索和嘗試。

1.教學分析

1.1考情分析

第16題是一道不等式的題目，位于7道填空題的第6題，在全市統計中，本道試題是選擇填空中得分率最低的一道題目，難度系數為0.1。

1.2學情分析

基本不等式已完成一輪復習，學生對基礎知識較為熟知，對“a+b與ab的關系”、“常數代換”、“消元法”、“判別式法”等常用解題方法已有一些了解和訓練，但表達式結構發生變化，背景發生轉換后，處理能力顯得不足，不能有效的轉換到熟悉題型、熟悉方法上，同時在理解試題的本質上能力還有所欠缺。

2.教學過程

2.1試題一現

已知正實數x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是_________。

師：我們再看看考試的這道試題，大部分同學沒有得分，這節課我們再來研究它，我想我們一定能解決它，并且能用多種方法來解決，我們先思考下面這些問題：

鋪墊：條件不變，已知正實數x，y滿足xy+2x+3y=42，思考下列問題：

（1）求xy的最大值

（2）求2x+3y的最小值

（3）求x+y的最小值

學生思考回答，教師歸納引導

生1：（1）小題只要用到x+y≥2就可以解決了。

生2：（2）小題可以用xy≤（）2來解決，不過要把2x和3y分別看作一個整體。

生3：（3）小題我想到了“判別式法”。

師：嗯，已知二次等式關系，求一次表達式最值時，我們常常用到“判別式法”，下面我們同學用這種方法一起試試看？

學生陸續算出結果。教師環繞查看。

師：我們還有沒有方法可以處理？

生4：我覺得還可以對題干進行整理，利用這個等式關系得到x和y的關系后，代入所求表達式，就只剩一個變量了。

師：非常好，我們的同學對常規的方法還是比較熟練的，而且在第（3）小問上有用兩種方法進行解決，下面我們再試試考試的這道題。

（設計意圖：通過更常規的設問讓學生回顧基本不等式的基礎知識及常用方法，使學生對原題產生再次思考的興趣和再試試的沖動）

2.2試題二現

已知正實數x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是__________。

（學生在上述問題的背景下再次嘗試，對xy+5x+4y進行變形后求42+3x+y的最小值，大部分同學已經能夠處理了）

生5，生6分別利用“判別式法”、“消元法”進行板演，并作分析。

（設計意圖：讓已做出的同學有所展示，未做出的同學再次感受知識方法的應用）

設問：對這個表達式的處理，我們用到了整體代換、消元法、判別式法，我們還可以怎樣處理？對這道題我們還有沒有其他的更本質更簡潔的解法？

師：基本不等式是若正實數a，b的和為定值，則積有最大值，積有定值，則和有最小值的描述，也就是對正實數a，b，有“a+b≥2”和“ab≤（）2”的應用。那么這道試題我們能不能轉換成這個問題。

（設計意圖：再次讓學生產生求知的欲望，積極思考，認真聽老師接下來的講解）

鋪墊：x=-1或y=-2是xy+2x+y+2=0的________條件

學生思考回答（教師引導）

xy+2x+y+2=（x+1）（y+2）=0？圯x=-1或y=-2，所以是充要條件

（設計意圖：引導學生利用因式分解來處理表達式）

2.3試題三現

已知正實數x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是___________。

師：我們能對條件和所求的表達式都進行因式分解嗎？

生7：xy+5x+4y=（x+4）（x+5）-20 xy+2x+3y=42？圯（x+3）（y+2=48

師：表達式轉換后我們可以怎么處理？

生8：那么可以令x+3=m，y+2=n，條件變成了mn=48

結論變成：求（m+1）（n+3）-20的最小值。

（m+1）（n+3）-20=mn+3m+n-20=3m+n+31≥2+28=24+31=55取得時，“3m=n=12”即“x=1，y=10”

（設計意圖：對新的處理方式進行熟悉）

課堂練習

若正實數a，b滿足a2+b2-ab=12，則a2-b2的最大值是 _______。

（設計意圖：對新的處理方式進行熟悉）

3.教學思考

試題講評是高三數學復習教學中最常見、最重要的一種課型，筆者結合考試情況，知識掌握的情況，選擇一道試題，以微專題探究的形式對試題進行三現，通過三現來尋找試題背后的數學知識本質，利用數學本身來解決問題，當理解本質問題，所用到的方法都變成了一種手段，變成了一種自然而然的想法，而不是一種技巧了。同時通過鋪墊、引導、來體驗數學知識發生發展過程的合理性，同時滿足了學生思維過程的合理性，反映了數學本質與數學思想。

參考文獻：

[1]任偉芳.高中數學創優課例探討與教學設計.寧波出版社，2014