平面向量的基本概念及其運算

■王 焓

■王 焓

平面向量既有幾何圖形的特征，又有代數運算的特性，它是溝通代數與幾何的橋梁。高考主要考查平面向量的基本概念與表示、平面向量的線性運算、平面向量的基本定理與坐標表示，以及平面向量的數量積。

1.平面向量的線性運算及基本定理

例 1在下列向量組中，可以把向量a=(3，2)表示出來的是( )。

A.e1=(0，0)，e2=(1，2)

B.e1=(-1，2)，e2=(5，-2)

C.e1=(3，5)，e2=(6，10)

D.e1=(2，-3)，e2=(-2，3)

解：因為e1=(-1，2)，e2=(5，-2)不共線，且a=2e1+e2，故選B。

點撥：兩個不共線的非零向量作為一組基底，用它可以將平面內的任何向量都表示出來。

例2設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內的任一點，則等于( )。

點撥：利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，可以把兩個不共線的向量用一個向量來表示。

2.平面向量的平行與垂直

例 3已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ)，若向量a∥b，則λ=____。

解：由a∥b，可得-6=2λ，即λ=-3。

例 4設向量a=(3，3)，b=(1，-1)，若(a+λ b)⊥(a-λ b)，則實數λ=____。

解：由題設可得(a+λ b)·(a-λ b)=0，即(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0，解得λ=±3。

點撥：若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a∥b?x1y2-x2y1=0，a⊥b?x1x2+y1y2=0。

3.平面向量的模

例 5已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=____。

解法1：作兩個 向 量=2b，且|a|=2，|b|=1，∠AO B=60°。以O A，O B為兩鄰邊作平行四邊形O ACB，此時O ACB是一個相鄰兩邊長均為2且夾角為60°的菱形，則

例 6已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，-)，x∈[0，π]。記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值及對應的x的值。

點撥：處理平面向量的數量積的三種常用方法為定義法、基底法和坐標法。

4.平面向量的數量積的應用

點撥：以平面向量為背景，可以考查三角函數的化簡、求值及圖像與性質等問題。