數學思想在平面向量中的應用

■廖慶偉

平面向量問題中蘊含著豐富的數學思想，在解題時，若能適時地滲透有關的數學思想和方法，則有助于掌握知識技能，提高解題效率。

一、數形結合思想

例 1如圖1所示，在△ABC中，點D，F分 別 是 邊BC，AC的 中 點

圖1

(1)用a，b表示

(2)求證:B，E，F三點共線。

小結：“數無形，少直觀，形無數，難入微”。靈活利用向量的“形”的特征，尤其是在解決有關向量的加法、減法問題時，抓住幾何特征，可以快速解題。

二、分類討論思想

例 2如圖2，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為 A(4，3)，B(3，-1)，C(1，-2)，求第四個頂點D的坐標。

圖2

解：設頂點D的坐標為(x，y)。若平行四邊形四個頂點的順序為A，B，C，D，則(1-x，-2-y)。由第四個頂點D的坐標為(2，2)。

綜上可知，第四個頂點D的坐標為(2，2)或(6，4)或(0，-6)。

小結：本題主要考查平面向量的坐標運算、平行四邊形的性質等知識。

三、化歸與轉化思想

例 3如圖3，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點E為BC的中點，點F在CD上，若的 值 是____。

圖3

小結：用向量方法解決幾何問題的“三步驟”:①用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如平行、垂直、距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系。

四、函數與方程思想

小結：本題主要考查平面向量的數量積運算及二次函數的性質等知識。

例5在平面直角坐標系x O y中，已知向量 a=(-1，2)，點 A(8，0)，B(n，t)，

(1)若⊥a，且||=5||，求。

(2)若與向量a共線，當k＞4且tsinθ取最大值4時，求。

解：(1)由題設知=(n-8，t)。因為⊥a，所以8-n+2t=0。 因 為|=|，所 以5×64=(n-8)2+t2=5t2。 由上解得t=±8。當t=8時，n=24；t=-8時，n=-8。所以=(24，8)或(-8，-8)。

小結：本題主要考查平面向量的坐標運算及正弦函數的性質、二次函數的性質等知識。

五、整體思想

例 6已知非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|，則向量a+b與a-b的夾角為____。

解：將|a+b|=|a-b|兩邊平方可得a·b=0，將|a-b|=2|a|兩邊平方可得b2=3a2。所 以 cos〈a+b，a-b〉=又α∈[0，π]，故向量a+b與a-b的夾角為60°。

小結：本題主要考查向量的夾角的概念，通過整體代入和整體相約，降低了解題的難度。