平面向量的數(shù)量積的解題策略

■韓文美

平面向量的數(shù)量積通常考查數(shù)量積的確定、最值的求解等，解決平面向量的數(shù)量積的關(guān)鍵在于向?qū)崝?shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。下面就平面向量的數(shù)量積的常見(jiàn)解題策略進(jìn)行實(shí)例剖析。

一、定義法

向量a與b的數(shù)量積a·b=|a||b|·cosθ，其中θ為向量a與b的夾角，θ∈[0，π]。

例1已知向量a，b的夾角為60°，|a|=1，|b|=2，則|3a+b|=____。

解：由于|3a+b|2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+6×1×2×cos60°+4=19，所以|3a+b|=

評(píng)析：需要注意的是求兩個(gè)向量a與b的夾角θ時(shí)，要使得向量a與b的起點(diǎn)相同。

二、投影法

向量a與b的數(shù)量積a·b=|a||b|·cosθ的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量在其方向上的投影，即a·b=|a|·(|b|cosθ)或a·b=|b|·(|a|cosθ)。

例 2如圖1，O是以∠BAC為鈍角的△ABC的外接圓的圓心，且AB=4，AC=2，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則=____。

圖1

解：分別取AB，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則外心O在AB，AC上的投影恰好為點(diǎn)E，F(xiàn)。所以

評(píng)析：利用投影法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解答本題的關(guān)鍵。

三、基底法

在解決平面向量的數(shù)量積時(shí)，可考慮先用合適的兩個(gè)不平行的向量作為基底，將已知向量表示出來(lái)，再根據(jù)條件加以分析求解。

例3已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則的值為( )。

例 4已知向量a=(1，-1)，b=(6，-4)，若a⊥(t a+b)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)___。

解：t a+b=t(1，-1)+(6，-4)=(t+

評(píng)析：利用基底法求解是解答本題的關(guān)鍵，本題先選擇了作為一組基底，再通過(guò)向量的線性運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化求解。

四、坐標(biāo)法

向量a與b的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2，其中向量a=(x1，y1)，b=(x1，y1)。通過(guò)已知向量的坐標(biāo)或構(gòu)造直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)求解相應(yīng)的向量的數(shù)量積問(wèn)題，是比較常見(jiàn)的一種解題策略。6，-t-4)。因?yàn)閍⊥(t a+b)，所以a·(t a+b)=(1，-1)·(t+6，-t-4)=t+6-(-t-4)=2t+10=0，解得t=-5。

評(píng)析：對(duì)于一些方便構(gòu)造直角坐標(biāo)系的平面向量問(wèn)題，先合理構(gòu)造直角坐標(biāo)系，進(jìn)而確定向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式來(lái)處理。

五、平面向量的極化恒等式法

例5如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若值是____。

圖2

評(píng)析：利用極化恒等式來(lái)解決平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單快捷，但要注意使用時(shí)的特殊情況。

六、平面向量的三角形公式法

評(píng)析：利用平面向量的三角形公式法來(lái)處理平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，其思維獨(dú)特，解題方法巧妙。

七、數(shù)形結(jié)合法

平面向量的數(shù)量積中的最值問(wèn)題往往是在兩個(gè)向量的方向相同或相反時(shí)取得的，而此類問(wèn)題若利用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合直觀模型，則更容易求解。

例7已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值是( )。

評(píng)析：與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的最值問(wèn)題，往往要利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)確定點(diǎn)、線段、向量的位置，從而確定最值。