基于自制數學教具的研究與實踐

關翠婷

摘要：教具在教學中的應用特點在于通過直觀的實物、模型來強化學生感知，提供知識內化的個性化途徑，同時培養學生觀察與思維的基本能力，因此該教學應用特別適合理論性、抽象性較強的學科教學，而高校數學恰恰符合這一應用條件。本文重點探討自制數學教具在高校數學教學中的特色價值，總結教具應用原則，并結合個人工作經驗總結自制教具在教學應用中的常見問題與規避策略，為高校數學教師教學工作提供一定的實踐參考。

關鍵詞：自制教具；高校數學；應用原則；問題與對策

中圖分類號：G648 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）12-0012-02

高等教育階段數學教學的結果差異性較為顯著，在不考慮學生自身能力的情況下最能夠影響學生高等數學學習成果的因素集中在學生所在專業的文理科分類（即專業知識體系對高等數學專業知識的依賴度差異）、學生興趣、知識內化難度這三個方面，而上述三類因素存在一個共性，即學生對知識學習過程中的成就感和難度感知最終會大幅影響其學習質量。而自制教具在解決此類問題時有一定優勢，本文重點探討高校數學教學中自制教具的應用優勢，并結合實踐對自制教具應用的原則和問題規避策略進行分析，總結實踐應用思路。

1.自制數學教具在高校教學中的應用價值和優勢

1.1 提供自主探究學習的有效途徑。

自主探究是高校學生學習的主要方法，但高等教育階段中自主探究性學習活動通常為課外活動，由于課堂教學任務較重、時間相對緊張，教師在大多數情況下會選擇安排復雜的課后習題來引導學生自主學習和探究。但此類學習任務較為枯燥，任務目標不夠明確，部分學生僅以解決當前問題為目標，不會對知識內涵、特征、應用途徑等進行深層次、發散性的思考，因此學生的自主探究學習質量也很難得到保證。而自制教具不同于傳統的探究學習活動，其融合了操作實踐要求、自主知識檢測要求等任務目標，并且具備一定的趣味性，這進一步豐富了自主探究的學習情境，同時學習任務的目標更為明確，學生在自制教具的過程中可能面臨各類難題，此時通過二次學習和分析并解決問題能夠加深對知識的理解，同時在教具制作成功后也能夠獲得顯著的正向激勵，這能夠大幅提高高校數學自主探究學習活動的基本質量。

1.2 強化學生應用與操作能力。

高等院校數學學科的工具性價值十分突出，除教育類、數學類專業外，所有學科專業的數學學習都是為本學科研究性或實踐性活動提供支持的，因此對于學生數學研究能力的要求要低于數學應用和操作能力的要求。而高校數學教學的單學期課時相對有限，無論具體授課還是小班授課都缺乏足夠的課堂實踐性學習活動時間，教師普遍選擇課后實踐性活動。而在非數學專業中，課后實踐活動大部分被本專業核心專業課所占據，數學教師較少有參與學生課后實踐活動管理和監督的條件，如果設置其他類型的實踐型任務很難保證實踐性學習的質量。但教具自制任務有明確的成果展示要求，無論學生課后實踐的意愿如何，最終都需要成功制作教具，而此類學習成果無法抄襲，因此能夠很好地保證學生實踐性學習的質量。另外，如果數學教具的制作能夠與本專業核心學科的應用需求相匹配，也能夠進一步激發學生的興趣和動力，這也能夠進一步改善學生實踐學習成果。

1.3 符合高校學生認知發展特點。

高校教學不同于中學階段數學教學，學生在課堂學習階段的學習內容較為緊湊且繁重，大量知識的內化需要較長的時間進行，學生大多需要利用課后時間自主安排學習活動，而在缺乏有效指引的情況下自主知識內化的效率通常較低，這并不利于學生的學習與發展。在高等教育學習階段，學生的自主學習意識和學習能力也會不斷增強，如果有目標性較強的學習任務加以引導，學生的自學成效往往也能得到更快速的發展。而自制教具本身就與自主學習的性質接近，制作教具即需要應用到所學知識，需要學生在理解知識的前提下進行實踐；也能夠對知識內化成果進行檢驗，在實踐中發現知識理解和學習的問題，從而實現元認知校驗，不斷完善知識體系和結構，因此自制教具更符合高校學生的認知發展特點。

2.自制數學教具的應用原則

2.1 保證教具制作過程對知識原理的參考性依賴。

在許多教師看來，教具的核心價值在于消除抽象化理論知識的視覺識別障礙，無論教學應用還是學生制作，都會將形象展示作為重點，因此教師很容易忽略教具本身與知識原理相關的嚴謹性要求，更多的去強調視覺增強。這實際上反映了教師對教具價值認知的誤區，在學生自制教具時教具更類似于學具，教具的適用對象需求不再單純地以降低教學難度為目標，要更多地考慮其對學生學習過程的輔助作用。結合前文分析可知，自制教具任務能夠引導學生自覺思考知識內涵及原理，同時能夠潛在推動學生自主檢測學習成果的基本意識，如果自制教具任務只強調視覺增強就容易喪失上述兩個方面的價值，因此教具制作任務的設計必須與知識原理內化過程進行高度關聯，使學生能夠在制作的過程中對知識原理進行更有效的思考、分析和檢驗，進而提升學習成效。

2.2 避免對制作結果的唯一性限制。

探究型學習活動主要分為明確目標性和開放性兩類，前者更注重學習者對特定知識的鞏固與實踐，后者更注重對知識的理解和內化，這兩類探究型學習各有優劣，如前者不利于學生的多元化知識理解，后者不適用于鞏固型學習和訓練。僅從常規教學的角度來看，自制教具任務中知識檢驗和訓練目標的優先級較低，一般自制教具任務都會出現在常規教學階段而非復習階段，在該階段的教學實踐中優選開放性任務。不過自制教具本身是將制作成果作為核心目標的，這使得該類學習活動具有先天的目標約束，為了避免任務結果導向單一性問題，教師需要將任務目標進行適當調整，要求學生對制作過程中所使用的理論進行驗證，通過引入新的開放性問題來消除任務目標的唯一性，由此一方面激發學生的發散性思維能力，另一方面也能夠有效促進學生之間進行主動的交流與分享，使得學生在課后自主學習過程中也能夠建構良好的聯通主義學習條件。

2.3 提出明確的獨立操作要求。

前文在分析中提到，自制教具學習活動的可抄襲難度高，也正是這一特點保證了此類活動任務對學生自主學習質量提升的有效促進性。但不可否認的是，任何一種需要做出反饋的學習任務都存在消極應對、抄襲和模仿的可能性，自制教具學習活動的結果雖然很難直接抄襲，但是能夠適當模仿，如果出現此類情況就會導致學生自主學習效能下降。對此，教師應明確提出學生在教具制作過程中遵守獨立操作的要求，為避免口頭約束的效力不足，教師可以設置額外的描述性任務，安排特定的課堂點評時段由學生自主描述制作過程、知識實踐感受和看法等，由此來約束學生教具制作行為，保證學習活動的基本質量。

3.自制數學教具應用中的常見問題與規避策略

3.1 操作過程與理論融合的障礙與對策。

為保證教具制作與理論知識相關性，教師需要在制作任務的目標設置、過程追蹤方面進行自主改良：

首先，在任務目標設置方面。教師要在任務描述過程中同時保證任務開放性和目標的相對明確性，開放性是要強調對知識檢驗方法、知識實踐過程不做嚴格約束，使學生可以依據個人知識結構水平進行自主分析和元認知校驗，改善學生對知識的理解；目標的明確性是要求學生最終能夠成功制作出可達成某項功能的教具，例如在高等代數矩陣運算的學習中可以運用現實模型制作和模擬矩陣，該任務中不必對學生如何模擬矩陣進行限制，但需要明確要求學生運用教具模型實現簡單的矩陣列式展示等等。

其次，在任務追蹤方面。教師可以利用移動溝通媒介（例如微信群等）按時收集學生制作進度信息、反饋信息，基于普遍性問題和錯誤較為嚴重的典型問題進行合理點評，引導學生及時調整思路，提升制作效率，加深對知識的記憶。

3.2 學生創造性激發問題與對策。

教具制作過程中學生對知識的理解及實踐存在多元特性，不同學習風格和思維模式下學生所采取的制作思路也會不同，例如邏輯思維能力強的學生會優先解決抽象化問題，然后再確保具象展現工具的精確性和有效性，而形象思維能力較強的學生會優先考慮何種生活原型、專業領域應用模式更適合作為教具設計的樣板，然后反向分析并選擇知識原理。無論哪種制作思路都會產生相對理想的結果，教師也不應對這個過程進行過度約束，即鼓勵學生用自己的方法制作教具，不要求最終結果必然準確，但至少要能夠做到對自己的制作成果進行合理的解釋和說明；同時在教具任務的安排中，除維持教具功能性目標不變外，可以設置多個知識實踐與檢驗的遞進性問題，保證問題的開放性，使學生保持較高的思考頻率，推動學生內部交流和分享，優化學生知識內化條件。

3.3 成果評價問題與對策。

高校數學教學中教具制作任務的目標是幫助學生理解知識、加深對知識的印象、優化知識結構，而教具制作成果僅作為輔助目標出現。因此，在成果評價中需要以知識檢測為主，而就筆者的工作實踐來看，多數教師會忽略教具制作在教學工作中的根本價值，更多地關注教具的功能性和有效性。針對此類問題，筆者建議教師結合教具制作的普遍成效首先對其中所涉及知識點、關聯性知識進行點評和總結性說明，然后安排快速隨堂測試，分別設置知識回顧性書寫、知識實踐性應用題解答、關聯知識點書寫等，通過這種成果評價，一方面可以檢驗自制教具對學生學習的輔助效果，另一方面也能夠提升學生對此類學習活動價值與深層次目標的有效認知。

4.結語

自制教具是一種十分高效的實踐性學習任務，更符合高校學生學習特點。在高校數學教學實踐中，教師應合理運用自制教具活動的知識檢驗與實踐功能，設置開放性附加問題，合理引導學生在實踐過程中進行分析與思考，并將評價重心放到知識學習成果上。

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