高考中常見的涂色問題

■河南省平頂山市第一高級中學(xué) 景路明

涂色問題是高考中比較常見的一類問題,這類問題新穎獨(dú)特,具有一定的難度,能全面考查同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力、分析問題與解決問題的能力。那么涂色問題主要有哪些呢?

一、平面區(qū)域的涂色問題

例1 如圖1,用4種不同的顏色對圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用),要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,則不同的涂色種數(shù)有____。

圖1

分析:由于區(qū)域1,2,3與區(qū)域4相鄰,由條件知宜采用分步處理方法,又相鄰區(qū)域不同色,可按區(qū)域1和區(qū)域3是否同色分類求解。

解:按區(qū)域1與3是否同色分類:

(1)區(qū)域1與3同色,先涂區(qū)域1與3有4種方法,再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)有A33種方法,因此,區(qū)域1與3涂同色,共有4A33=24(種)方法;

(2)若區(qū)域1與3不同色,先涂區(qū)域1與3有A24種方法,第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法,第三步涂區(qū)域4只有1種方法,第四步涂區(qū)域5有3種方法,此時(shí),共有A24×2×1×3=72(種)方法。

故由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同的涂色種數(shù)為24+72=96。

點(diǎn)評:解決涂色問題,一定要分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞颉Ｇ袑?shí)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn),分清楚哪些可以同色,哪些不能同色。

二、立體圖形中的點(diǎn)涂色問題

例2 如圖2,用4種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F6個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的2個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法共有____種。

圖2

分析:先分類,再分步,綜合應(yīng)用分類、分步計(jì)數(shù)原理加以解答。

解:先涂 A 、D、E三個(gè)點(diǎn),共有4×3×2=24(種)涂法,然后再按B、C、F的順序涂色,分為兩類:一類是B與E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8(種)涂法;另一類是B與E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3(種)涂法。所以不同的涂色方法共有24×(8+3)=264(種)。

點(diǎn)評:求解排列組合問題的思路:“排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘。”

三、立體圖形中的面涂色問題

例3 如圖3所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成,現(xiàn)用3種不同顏色對這個(gè)幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的染色方案共有____種。

圖3

分析:解答本題要注意底面A1B1C1不涂色這一條件,同時(shí)要分清是排列問題還是組合問題。

解:先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面,然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面,共有C13×C12×C11×C12=3×2×1×2=12(種)不同的涂法。

點(diǎn)評:解答排列組合問題,要仔細(xì)審題,判斷是排列問題還是組合問題,要按元素的性質(zhì)分類,按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分類;還要深入分析,注意分清是乘法還是加法,防止重復(fù)或遺漏。