排列與組合問題解法串燒

■河南省鞏義二中 席文麗

排列與組合問題,歷來是高中數學的難點,只要我們能掌握一些技巧與方法,就可以將排列與組合問題化難為易,化險為夷。

一、排列問題

例1 6人按下列要求站一排,分別有多少種不同的站法?

(1)甲不站在兩端;(2)甲、乙必須相鄰;(3)甲、乙不相鄰;(4)甲、乙之間恰間隔2人。

分析:在與不在問題用直接法或間接法;相鄰問題用捆綁法;不相鄰問題用插空法。

解:(1)方法一:要使甲不站在兩端,可先讓甲在中間4個位置上任選1個,有種站法,然后其余5人在另外5個位置上全排列,有種站法,根據分步乘法計數原理,共有站法=480(種)。

方法二:若對甲沒有限制條件,共有種站法,甲在兩端共有2種站法,從總數中減去這兩種情況的排列數即得所求的站法數為=480。

(2)方法一:先把甲、乙作為一個“整體”,看成一個人,有種站法,再把甲、乙進行全排列,有種站法,根據分步乘法計數原理,共有=240(種)站法。

方法二:先把甲、乙以外的4個人全排列,有A44種站法,再在5個空當中選出一個讓甲、乙站,有種方法,最后讓甲、乙作全排列,有A22種方法,共有=240(種)站法。

(3)方法一:(直接法)因為甲、乙不相鄰,中間有空當,可用“插空法”,第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊,有種站法;第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空當(含兩端)中,有種方法,故站法共有480(種)。

方法二:(間接法)6個人全排列有種站法,由(2)知甲、乙相鄰有=240(種)站法,所以不相鄰的站法有=720-240=480(種)。

(4)方法一:先讓甲、乙以外的4個人全排列,有種方法,然后將甲、乙按條件插入站隊,有種站法,故共有)=144(種)站法。

方法二:先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上,有種,然后把甲、乙以及中間2人看作一個“大”元素與余下2人全排列有種方法,最后對甲、乙進行排列,有種方法,故共有·=144(種)站法。

點評:求解排列問題的主要方法:(1)直接法,把符合條件的排列數直接列式計算;(2)優選法,優先安排特殊元素或特殊位置;(3)捆綁法,相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列,同時注意捆綁元素的內部排列;(4)插空法,不相鄰問題插空處理,即先把不受限制的元素進行排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列形成的空中;(5)排除法,對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定元素的全排列;(6)間接法,正難則反,等價轉化的方法。

二、組合問題

例2 某課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男生、女生各指定1名隊長。現從中選5人主持某項活動,依下列條件各有多少種選法?

(1)只有1名女生;(2)2名隊長當選;(3)至少有1名隊長當選;(4)至多有2名女生當選;(5)既要有隊長,又要有女生當選。

分析:按照特殊元素優先的方法逐一求解,注意“至少”、“至多”的含義。

(2)將2名隊長作為一類,其他11人作為一類,故共有=165(種)選法。

(3)至少有1名隊長含有兩類:只有1名隊長和2名隊長。故共有=825(種)選法。

或用排除法,有=825(種)選法。

(4)至多有2名女生含有三類:有2名女生,只有1名女生,沒有女生。故選法數為:

(5)分兩類:

第一類女隊長當選,結果為C412;

第二類女隊長不當選,結果為C14C37+

故選法共有:=790(種)。

點評:組合中常見的兩類題型的解法:

(1)“含”與“不含”的問題,“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取。

(2)“至少”、“至多”的問題,解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解。用直接法或間接法都可以求解。通常用直接法分類比較復雜時,可考慮逆向思維,用間接法處理。

三、分組分配問題

例3 (1)國家教育部為了發展貧困地區教育,在全國重點師范大學免費培養教育專業師范生,畢業后要分到相應的地區任教。現有6個免費培養的教育專業師范畢業生要平均分到3所學校去任教,有____種不同的分派方法。

(2)將6名教師分到3所中學任教,其中一所1名,一所2名,一所3名,則有____種不同的分法。

分析:(1)先確定平均分組的方法數,再把3組畢業生分到3所學校,最后由分步乘法計數原理求出方法總數。(2)先將6名教師分成3組(相當于3個不同元素),再將3個組分給3所中學,最后由分步乘法計數原理求分法總數。

解:(1)先把6個畢業生平均分成3組,種方法,再將3組畢業生分到3所學校,有種方法,故6個畢業生平均分到

(2)將6名教師分組,分三步完成:

第一步,在6名教師中任取1名作為一組,有種取法;

第二步,在余下的5名教師中任取2名作為一組,有種取法;

第三步,余下的3名教師作為一組,有

根據分步乘法計數原理,共有=60(種)取法。

再將這3組教師分配到3所中學,有=6(種)分法。

故共有60×6=360(種)不同的分法。

點評:(1)分組、分配問題的求解策略。

①分組問題屬于“組合”問題,按組合問題求解,常見的分組問題有三種:

a.完全均勻分組,每組元素個數相等;

b.部分均勻分組,應注意不要重復,若有n組均勻,最后必須除以n!;

c.完全非均勻分組,這種分組不考慮重復現象。

②分配問題屬于“排列”問題,可以按要求逐個分配,也可以分組后再分配。

(2)分組分配問題的解題方法。

①相同元素的“分配”問題,常用的方法是采用“擋板法”。

②不同元素的“分配”問題,利用分步計數原理,分兩步完成,第一步是分組,第二步是發放。

③限制條件的分配問題采用分類法求解。