排列組合與二項式定理易錯題分類與解析

■河北省唐山市海港高級中學 曹越程

一、有序問題與無序問題

例1 4名優等生保送到3所學校去,每所學校至少有1名保送生,則不同的保送方案的總數是____。

錯解:根據題目要求每所學校至少接納1名優等生,常采用先安排每學校1人,而后將剩余的1人保送到其中1所學校,故有×3=72(種)方案。

剖析:以上的解法是將保送到同一所學校的2名學生按進入學校的前后順序,分為2種方案,而實際題目中對進入同一所學校的2名學生是無順序要求的。

正解:

(方法1)分兩步:先將4名優等生分成2,1,1三組,共有種方法;而后,對三組學生安排3所學校,即進行全排列,有A種方法。依據乘法原理,共有=36(種)方案。

(方法2)分兩步:從每個學校至少有1名學生,每人進一所學校,共有A34種方法;再將剩余的1名學生保送到3所學校中的1所,有3種方法。值得注意的是,同在一所學校的2名學生是不考慮進入的先后順序的,因此,共有·3=36(種)方案。

點評:本題主要考查排列組合、乘法原理等知識,以及靈活應用上述知識處理數學問題的能力。方法1采用先組合后排列的方法,它是處理分堆問題的常用方法。方法2分兩次安排優等生,但應注意進入同一所學校的2名優等生是不考慮順序的。

二、均勻分組與不均勻分組問題

例2 有9本不同的書,分給甲、乙、丙3名學生,按照以下的條件,各有多少不同的分法?(1)每人分得3本;(2)一人2本,一人3本,一人4本;(3)一人5本,另外兩人各2本。

錯解:(1)把9本書分成3堆:有種方法,再分給甲、乙、丙3名學生有種方法,所以結果為33=10080。

(2)一人2本,一人3本,一人4本,結果為=1260。

(3)一人5本,另外兩人各2本,結果為=4536。

剖析:(1)誤認為與順序無關,多乘了,重復計數致錯。(2)的錯誤是對條件分析不到位,誤認為具體對象分得本數已定,產生漏解情況;(3)中忽視了條件“兩人都得2本”,重復計數。

點評:本題是排列組合中典型的均勻分組、不均勻分組,以及部分均勻分組的題型,分組問題也是高考的熱點問題之一。

三、元素相同與不同問題

例3 有4封相同的信寄出去,有3個不同的信箱可以投放,有多少種不同的投放方法?

錯解:以信封為主體考慮,每一封信可投入3個信箱中的1個,則每封信有3種投放方法,共有34種投放方法。

剖析:如果信是不同的話,以上解法就對了,但題目中的信是相同的。我們可以換個角度思考這個問題,相同元素的問題一般采用隔板法求解。

正解:每個郵箱所投信的數分別為x、y、z,則有x+y+z=4,且x≥0,y≥0,z≥0。故(x+1)+(y+1)+(z+1)=7。再設x'+y'+z'=7,且x'=x+1≥1,y'=y+1≥1,z'=z+1≥1,由隔板法可得=15。

點評:相同元素的問題常用隔板法,平時同學們還要注意審題能力的培養。

四、相鄰與不相鄰問題

例4 8人排成一隊,A、B、C3人互不相鄰,D、E2人也互不相鄰的排法共有多少種?

錯解:第一步,把A、B、C、D、E以外的F、G、H3人全排列,有種方法;第二步,前3人排好后,留下4個空,把A、B、C3人插入,有種方法;第三步,前6人排好后,留下7個空,把D、E2人插入空當,有種方法。

由乘法原理知有=6048(種)方法。

剖析:由題意知“ADB”的排法也滿足題意,但按照以上排法,A、B之間早就有F或G或H了,而不可能出現“ADB”,違反“不重不漏”的原則。

所求排法有=14400-2880=11520(種)。

五、三項式與二項式之間的轉化問題

剖析:以上解法忽略了(-1)5-r。

點評:本題兩次使用二項式定理,將三項式轉化為二項式,借助二項式定理的通項求解,充分體現了等價轉化的數學思想。

六、系數與二項式系數問題

例6 設(x-2)n的展開式中第二項與第四項系數之比為1∶2,試求含x2的項。

錯解:第二項系數為,第四項系數為,依題意得=1∶2,化簡得n2-3n-10=0,解此方程得n=5。

剖析:以上解法錯誤在于將“二項式定理展開式的某項系數”與“二項式定理展開式的二項式系數”混為一談,實際上兩者既有聯系又有區別,當二項式的兩項系數為1時,展開式的二項式系數即為各項系數;當二項式的兩項系數不為1時,二者就不同了,本題就是一例。

正解:(x-)n的展開式中第二項與第四項分別是:n2-3n-4=0,n=4。則含x2的項的系數為=12,故含x2的項為12x2。

點評:掌握好二項式定理的基本概念、基本性質是解決此類問題的關鍵。