定積分概念的學習與啟示

劉啟明 劉立紅 孟明強

摘 要：定積分是高等數學中一個重要概念。文章主要分析了從定積分概念出發而引出的一些解決問題的方法與學習數學的啟示。

關鍵詞：定積分；計算；應用

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）11-0069-03

Abstract： The definite integral is a very important conception in higher mathematics. From the conception of definite integral， this thesis analyzes the methods of solving some problems and enlightenment of learning mathematics.

Keywords： definite integral； computation； application

數學是一門自然科學，數學書籍幾乎是公理體系來呈現內容的，數學內容是概念、定理、法則與公式表現出來的，而數學概念則是構成數學內容的基礎，它是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式。概念是思維的基本形式，是對一切事物進行判斷和推理的基礎，數學概念也不例外。

定積分是高等數學的重要概念。可以說，導數是微分學的核心概念，而定積分則是積分學的核心概念。本文主要分析定積分概念的理論應用、實際應用與學習啟示。

一、定積分概念的理解

現在先闡明定積分概念。

定積分是高等數學的基本概念，是微積分學中積分學的基礎概念。它是一個在有限區間上一個有界函數通過“分割、近似、求和與取極限”得到特殊和式的極限：

二、定積分概念的應用

定積分概念是一個至關重要的概念，以其為基礎，可以解決許多的理論問題與實際問題。

這樣基于定積分概念就得到了微積分基本公式，而且很容易理解。

（二）解決幾何、物理的問題

（三）求數列極限

定積分是一種和式的極限，如果一個和式的極限式符合定積分定義，就可以借助定積分計算解題。

（四）函數求證

這里使用了定積分概念所體現的積分對區間的可加性。

（五）重積分與定積分的轉化

我們知道重積分最終都化為若干次定積分的計算。反之，我們也可以把定積分轉化為重積分式來計算定積分，核心技巧就是利用定積分與積分變量記法的無關性。

利用相同的技巧，可以證明如下不等式

（六）定積分的數值計算方法

掌握好定積分定義，我們完全容易理解定積分的數值計算方法。在數值分析中，積分與微分的數值計算是一個重要的知識點。

定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，通過分割、近似、求和與取極限來定義曲邊梯形的面積。定積分定義本身就是借助于有限項和的極限來實現無限項求和問題。利用定積分定義，通過分割、近似、求和可以得到的曲邊梯形的面積的近似數值，分割的越細，近似程度越高。在數值分析中，就是依據此原理來近似計算定積分的。常用的簡單易行的公式有復合梯形公式與復合型辛普森公式等，這兩個公式中都是把積分區間分割，前者把每一個積分區間對應的小曲邊梯形近似看作是頂端是斜線的直角梯形，后者則把每一個積分區間對應的小曲邊梯形近似看作是頂端是二次曲線的曲邊梯形。

（七）定積分與積分變換

在定積分基礎上將定積分的積分區間由有限推廣到無限或將被積函數由有界推廣到無界，就形成反常積分（也叫廣義積分）。不過，當積分被積函數可以求出原函數時，反常積分仍然可以借助于牛頓-萊布尼茨公式計算。

在工科院校中，積分變換是一門重要課程，它的重要意義是變換本質是一種映射，把要在時域上函數轉化為頻域上的函數，使得工程問題便于解決。積分變換是自動控制領域和電信技術等領域分析問題的有效工具。如傅里葉變換與其逆變換形式如下

但是從數學的觀點來看無論是傅里葉變換還是拉普拉斯變換都是無窮限的反常積分，只不過稍微復雜了一點，是含參變量的反常積分。這樣我們掌握好定積分概念，積分變換的基本概念也就得到掌握，進一步可以更好的學習積分變換的性質與應用。

當然依據定積分的定義來解決的問題很多，筆者僅僅在此舉出一些常見的概念的應用。

三、結束語

數學概念是數學理論體系中最基本的知識單元。對高等數學的積分學而言，如果對于定積分概念理解的比較深刻，通過定積分概念與其他知識點之間形成一個相互促進的關系實現了對定積分概念的學以致用的目的，這對于我們學習后面的高等數學起到了不可估量的作用，它的作用不僅涉及到本門課程，而且涉及到后續其他課程。對于定積分概念的作用分析，啟迪我們在學習數學時要時刻關注概念的內涵與后續相關知識點，使得對數學學習實現學以致用、融匯貫通的目的，滿足了高等教育中學生應用能力培養的要求。

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