2017年數(shù)學文化高考題賞析及教學建議

王國學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）02-0189-02

數(shù)學文化體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值和科學價值，滲透數(shù)學文化的命題能增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的內(nèi)容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用。《普通高中數(shù)學課程標準》提出對數(shù)學文化的學習要求是數(shù)學課程應(yīng)適當反映數(shù)學的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢， 及數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用。2017年修訂的高考數(shù)學考試大綱提出加強數(shù)學文化考查的要求并在高考中得到了體現(xiàn)。下面就以2017年滲透數(shù)學文化的高考試題作一賞析。

例1 （2017年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第2題）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱。在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）。

A.14B.π8C.12D.π4

太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案， 俗稱陰陽魚。太極是中國古代的哲學術(shù)語， 意為派生萬物的本源， 太極圖形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相輔相成是萬物生成變化根源的哲理。本題在編擬過程中在陰陽魚的外圍增加了正方形， 意在暗喻中國古代天圓地方的理念。試題以此為情境， 設(shè)計幾何概型以及幾何概率計算問題， 體現(xiàn)中國古代傳統(tǒng)文化， 同時試題貼近考生生活， 通過本題的求解， 使考生感受中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的民族性與世界性。

例2 （2017年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第3題）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題："遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）。

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

本題開宗明義地引入我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》， 然后通過詩歌提出數(shù)學問題， 闡明試題的數(shù)學史背景，激發(fā)考生對中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的喜愛。《算法統(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學家程大位的名著， 是我國珠算史上的一個里程碑。書中的文字淺顯易懂， 由淺入深， 試題中的詩句背景源自古代社會生活中常見的7層塔， 同時引入了一個等比數(shù)列的相關(guān)問題。本題展示了數(shù)學的知識和思維方式等在中國古代社會、生活等的廣泛滲透和應(yīng)用， 對引導(dǎo)學生樹立數(shù)學應(yīng)用意識具有積極的意義。

例3 （2017年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第8題）下面程序框圖是為了求出滿足3n？2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入（ ）

A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2

C.A 1 000和n=n+1D.A 1 000和n=n+2

本題巧妙地設(shè)置了兩個空白框中的不等式和等式作為選擇題的提問，考查考生對程序框圖基本邏輯結(jié)構(gòu)以及對算法語句的含義的理解程度， 從而揭示了數(shù)學知識是如何解決具體數(shù)學問題的過程， 體現(xiàn)了數(shù)學的創(chuàng)造性。

例4（2017年高考數(shù)學浙江卷第11題）我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的"割圓術(shù)"可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度，祖沖之繼承并發(fā)展了"割圓術(shù)"，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，"割圓術(shù)"的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，則S6=_____。

數(shù)學家劉徽用割圓術(shù)求出圓周率是3.141024。除了數(shù)學家劉徽還有我國偉大的數(shù)學家祖沖之計算出圓周率在3.1415926和3.1415927之間，是世界上第一個把圓周率的值的計算精確到七位小數(shù)的人，比國外數(shù)學家得出這樣精確數(shù)值的時間，至少要早一千年。隨著科學技術(shù)的迅速發(fā)展，人們利用電子計算機可以算出小數(shù)點后上億位……

劉徽的 "割圓術(shù)"在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學證明，成為人類文明史中不朽的篇章。 "割圓術(shù)"是當時計算圓周率的比較先進的算法，至今仍有一定的應(yīng)用價值。它體現(xiàn)了以直代曲、無限趨近、"內(nèi)外夾逼"的思想，這些思想是人們在解決數(shù)學問題時最基本、最樸素的思想，在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。"割圓術(shù)"這個算法本身很有趣，操作性強，"算理"明確，能被翻譯成計算機程序上機運行，體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的算法特征及輝煌成就。對激發(fā)學生的民族自豪感和愛國精神，培養(yǎng)追求科學真理和創(chuàng)新精神有積極意義。

例5（2017年高考數(shù)學江蘇卷第6題）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值是______。

阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.圓柱的體積與球的體積之比以及圓柱的表面積與球的表面積之比均為3：2（即本題答案），相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn)。

數(shù)學學科蘊含著豐富的審美因素，具有極高的美學價值，且有以下四個方面的表現(xiàn)形式：對稱美、簡潔美、和諧美、奇異美。本題即是以古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文為數(shù)學文化背景，體現(xiàn)數(shù)學的美。

例5 （2017年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第19題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）。根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）。（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學期望;

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查。

（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

經(jīng)計算得 ，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，。

用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值 ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ （精確到0.01）。附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-3σ

本題的背景是產(chǎn)品制造中的質(zhì)量管理過程。無論產(chǎn)品質(zhì)量， 還是生產(chǎn)過程的狀態(tài)都存在著波動， 統(tǒng)計方法能夠?qū)@些波動的狀況和相關(guān)關(guān)系進行定量分析， 因此是管理、改進產(chǎn)品質(zhì)量非常有用的工具。本題據(jù)此設(shè)計了依據(jù)3σ原理、根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量指標的波動情況對生產(chǎn)過程作出判斷。試題循序漸進， 逐步把統(tǒng)計思想融入試題中， 完整地展示了在面對實際數(shù)據(jù)問題時， 如何利用所學數(shù)學知識、數(shù)學思想解決問題的過程， 體現(xiàn)了數(shù)學知識和原理在現(xiàn)代社會中的應(yīng)用。

縱觀近幾年高考試題不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學文化在高考中的體現(xiàn)非常明顯， 2015年全國新課標一卷理科第6題和新課標二卷理科第8題分別是"九章算術(shù)"和"更相減損術(shù)";2016年新課標二卷的"秦九韶算法";在之前的地方性高考試題中也有上海湖北等地的"竹九節(jié)問題"和"祖堩原理"等。這類滲透數(shù)學文化的命題，不僅將數(shù)學知識、思想方法、數(shù)學精神融為一體，體現(xiàn)了數(shù)學學科對學生核心素養(yǎng)的考核，以及對學生的理性思維能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力的考核。因此，在平時的教學中，我們教師應(yīng)該：

（1）要多閱讀數(shù)學史和數(shù)學名著，深入挖掘材料背后所隱含的教學價值，全面提高自身的數(shù)學修養(yǎng)，把名著中體現(xiàn)的適合教學的相關(guān)專業(yè)知識、數(shù)學史知識、數(shù)學的人文精神等提取出來，運用到數(shù)學教學工作中去。

（2）要有意識的去鍛煉學生的數(shù)學閱讀能力和數(shù)學化能力，以便使學生在考試中能夠從這些富含文化背景的題目上快速理清楚題目的核心條件與核心問題。

（3）把課堂上或書本中的數(shù)學知識靈活地延伸到實際生活中，多向?qū)W生介紹數(shù)學在實際生產(chǎn)生活中的廣泛應(yīng)用，鼓勵學生多留意數(shù)學在日常生活和科學技術(shù)上的應(yīng)用事例。

（4）適時地引導(dǎo)學生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，并讓學生在學習中不斷感悟數(shù)學所呈現(xiàn)出來的美，增強學生興趣的同時，讓學生認識到數(shù)學并不僅是計算的工具，更是一種美，一種文化的集合，使學生在邏輯算術(shù)的熏陶中獲得一種深層的理性文化素養(yǎng)。

總之，一線教師應(yīng)時刻樹立數(shù)學文化意識，讓學生不僅了解祖先的聰明智慧，增強民族自豪感，也讓學生了解數(shù)學知識背后豐富的歷史淵源，感受數(shù)學文化的熏陶，體會數(shù)學獨特的文化魅力。