輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運用

馬凌莎

作為高中數(shù)學(xué)的重點和難點內(nèi)容，高中立體幾何是每年高考都會考查的知識點，而且立體幾何還能夠與函數(shù)和數(shù)列相結(jié)合，題目的難度較大。基于此，筆者從個人學(xué)習(xí)經(jīng)驗和解題經(jīng)驗出發(fā)，分析了解答立體幾何問題中，輔助線的有效運用，首先給出了正確添加輔助線的方法，然后分析了輔助線的運用思路，意在幫助同學(xué)們更加容易且正確地解答出立體幾何問題，提升數(shù)學(xué)成績。

觀察高中立體幾何問題可以發(fā)現(xiàn)，解題方式大都靈活多樣，思路也比較寬泛，而且經(jīng)常需要添加輔助線，使立體幾何題目的解答更加容易。但是在實際的題目訓(xùn)練中，很多同學(xué)都不了解輔助線的重要作用，即使知道題目需要添加輔助線，也不明確輔助線的具體添加位置，使得立體幾何問題的解答效率極低。因此，對于輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運用是很有必要的。

一、正確添加輔助線的方法

在實際的解題過程中，輔助線的添加具有一定的規(guī)則與思路，首先，要了解題目中的已知條件，并明確已知條件之間的關(guān)聯(lián)；然后，盡量將空間問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲栴}，使不同空間的直線轉(zhuǎn)化為同一平面或者平行方向的直線；最后，根據(jù)已知的定理添加輔助線。對于高中立體幾何問題來說，能夠添加的輔助線種類非常多，需要根據(jù)實際的題目需求選擇正確的輔助線進行添加。接下來，主要分析立體幾何中垂線以及平行線的添加方法。

首先，垂線的添加方法，通過立體幾何知識學(xué)習(xí)可知，其中的很多概念與基礎(chǔ)知識都和垂線聯(lián)系密切，比如，線面角和面面之間的距離等數(shù)學(xué)概念。因此，在解答立體幾何題目時，如果題目中包含這些數(shù)學(xué)概念，就可以將已知條件中沒有提及的垂線繪制出來，通過垂線的添加，構(gòu)建空間三維坐標(biāo)，再應(yīng)用與垂線相關(guān)的數(shù)學(xué)定理，解答立體幾何問題。

然后，平行線的添加方法，在立體幾何中添加平行線的方法主要有三種：其一，面面平行，根據(jù)題目中已知的條件，作一個與已知面平行的面，從而使已知條件之中的線、平面相互平行；其二，線線平行，在已知的平面中，找到一條直線，使該直線能夠與已知的直線相互平行，從而能夠得出直線與平面相互平行的結(jié)論。其三，中位線法，這種方法是立體幾何中應(yīng)用最為廣泛的輔助線添加法，這種方法主要應(yīng)用于已知條件中包含中點的情況下，在三角形中作中位線，從而明確立體幾何中直線與面之間的關(guān)系。

二、輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運用

簡化復(fù)雜的立體幾何問題。我們在解答立體幾何問題的時候，經(jīng)常會找不到解題的思路，感覺立體幾何問題比較復(fù)雜，找不到突破口，而輔助線能夠幫助我們簡化復(fù)雜的立體幾何問題，找到解題的突破口。比如下面一道例題，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB與oc的長度相等，且兩兩垂直，底邊AB中有一中點M，求OM和平面ABC之間的夾角大小。觀察題意我們可以發(fā)現(xiàn)，這道題目主要是求直線和平面之間的夾角大小，首先出現(xiàn)在腦海里的解法應(yīng)該是通過向量進行計算。但是根據(jù)題目的已知條件，構(gòu)建坐標(biāo)和向量過于繁瑣，計算也十分困難。

我們可以通過添加輔助線的方法，將問題中的直線與平面夾角轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與直線的夾角，這樣求解的過程要更為方便。如圖1所示，我們可以根據(jù)三棱錐的性質(zhì)，從O點出發(fā)，做一條垂直于平面ABC的垂線，垂足為點D，我們以此得到直角三角形ODM與直角三角形ODC，那么問題中OM和平面ABC之間的夾角就可以轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€OM與直線CM之間的夾角，將三棱錐的棱長設(shè)為a，那么AB、AC與BC均為a，根據(jù)三棱錐的體積計算公式可得，該三棱錐的體積為1/6a3，由此計算出，。由于M是AB邊中點，MC=，D是三角形ABC中心，由此可以計算，根據(jù)正切定義可以，OM和平面ABC之間的夾角滿足公式，由此得出OM和平面ABC之間的夾角為。由此可以看出，在解高中立體幾何問題的時候，不能將思維禁錮在空間向量上，如果根據(jù)題目已知條件發(fā)現(xiàn)存在線面角、線面垂直或者面面角與面面垂直的時候，就可以通過添加輔助垂線的方式，簡化立體幾何題目，求得正確的答案。

提升空間想象力。我們最早接觸幾何是在初中，對幾何有了初步的了解，等升到高中，幾何知識要更為深入，呈現(xiàn)出較強的空間感。但是很多同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何知識的時候，仍舊將自己的思維停留在初中階段，在解答立體幾何題目的時候，非常容易受到平面思維的影響，導(dǎo)致解題出現(xiàn)失誤。除此之外，高中立體幾何知識的難度也比初中的高一個層次，在初步了解立體幾何知識之后，我們發(fā)現(xiàn)初中的很多定理僅適用于平面幾何，立體幾何知識要更為復(fù)雜，不僅包括計算與證明，還能夠與函數(shù)和數(shù)列等知識相聯(lián)系。我們可以通過添加輔助線的方式，更加容易地理解立體幾何知識，正確解答立體幾何題目，比如，立方體就是正方形通過向上平移，再將四個面連接成正方形而成，這樣能夠有效提升我們的空間想象力，為解答立體幾何題目打下良好的基礎(chǔ)。

解釋立體幾何的圖形特點。在高中立體幾何題目中，有很多題目為了加大難度，都會將已知信息進行隱藏，大多數(shù)同學(xué)都不能完全地將題目中隱含的信息提煉出來，使得題目解答出現(xiàn)錯誤。根據(jù)個人解題經(jīng)驗，對于立體幾何題目而言，大部分隱藏信息都會體現(xiàn)在圖形中，而輔助線則可以幫助我們找到圖形中的隱藏條件。比如下面一道例題中：正方體ABCD-AIBICID1中，E、F、G分別為AB邊、AD邊和CID1邊的中點，試證明平面DIEF∥平面BDG。在這道題目中，為了證明面與面平行，首先要確定結(jié)論中的平面，需要作輔助線連接BD、EF、DIF、DIE、BG和DG， 如圖2所示。通過連接輔助線后可以采用線面平行方法進行證明，由于E和F分別是AB和AD的中點，可以得到EF∥BD，進而證明EF∥平面BDG。由于四邊形DIGBE中有D1G∥BE，且D1G-BE，可證明四邊形D1GBE為平行四邊形，進而得出BG∥D1E。EF和D1E為平面D1EF中的兩條相交直線，且都與平面BDG平行，由此可以得出平面D1EF∥平面BDG。

綜上所述，輔助線的應(yīng)用可以有效降低立體幾何問題的解答難度，幫助同學(xué)們找到解題的思路。分析可得，通過對輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運用分析可知，我們需要認識到輔助線的重要作用，認真研讀立體幾何題目，在充分了解題目已知條件的基礎(chǔ)上，正確添加輔助線，這樣才能提高解答立體幾何問題的效率，獲取更高的分數(shù)。希望本文的探究可以為同學(xué)們解答立體幾何問題提供幫助。