合理構造函數巧解數學難題

劉勇華

[摘要]選取部分例題，剖析構造函數法在不等式、恒成立、最值問題中的應用，以幫助學生建立解決一類問題的方法，從而讓學生學會舉一反三、觸類旁通.

[關鍵詞]構造函數；不等式；恒成立；最值問題

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002901

數學解題的過程是一個理性分析和智慧探究的過程.由于數學題目類型眾多，解題方法多變，如果解題不得法，極易出現解題過程煩瑣且錯誤頻發的狀況.應用構造函數法，可以優化解題的步驟和過程，快速、高效地解決不等式、恒成立、最值等難度稍大的數學問題.下面舉例剖析，以供參考.

一、構造函數解不等式問題

有關不等式知識點的內容是高考的一個重要考點，它與函數的關系密切相關，尤其基本初等函數中的函數的單調性就是通過不等式來定義的.在解不等式問題時，可結合兩者之間的關系構造函數，使問題迎刃而解.

【例1】解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

解析：原不等式可變形為

2x+13+10x+1>x3+5x

.設f（x）=x3+5x，那么原不等式又可變為f2x+1

.由于函數f（x）為增函數，因此2x+1>x

，即

（x+2）（x-1）x+1<0

，得不等式的解集為{x|x<-2或-1

[點評]一道高次分式與不等式結合的解不等式問題，如果按照常規思路求解，即需要移項、通分、因式分解，最終很難產生結論.而通過構造函數，借助函數的單調性可巧妙地推出結論，思路新穎.

二、構造函數解恒成立問題

探究恒成立問題的一般思路是最值轉化法，即通過求滿足題意函數的最大值或最小值，從而求出參數的取值范圍.函數的最值求解是我們所熟悉的常見題型，因此，可以將恒成立問題轉化為求函數的最值問題而得解.

【例2】設n為正整數，an=1+

12+13+…+1n，bn=a2n+1-a2n-1

，若數列{bn}從第二項起以后所有項都大于2k-5，則k的范圍為.

[點評]恒成立問題可通過構造函數，利用函數的單調性，求得函數的最值，從而使問題順利得解.

三、構造函數求最值問題

構造函數解決與最值有關的問題是常見的一種解題策略，構造函數的關鍵是引入變量，通過對變量的探究和引申，從而求出研究問題的最值或取值范圍.

【例3】已知A，B分別是橢圓G：x2a2

+y2b2=1（a>b>0）

的上、下頂點，P是橢圓G上的

動點，若PB的最大值為AB，則橢圓的離心率的取值范圍為.

解析：設點P（x，y），由點P在橢圓上，有x2a2+

y2b2

=1（a>b>0）

，從而

PB2=

x2+（y+b）2=

a21-y2b2+

（y+b）2

=c2b2y2+2by+a2+b2

，由點P在橢圓上，故自變量y∈[-b，b]（而不是任意實數）.由于條件恰好給出了該函數取最大值的條件，即當y=b時取得最大值，即在區間[-b，b]的端點b處取得最大值，結合f（y）=c2b2

y2+2by+a2+b2

的圖像，其對稱軸y=b3c2

應滿足b3c2

≥b

，從而可得其離心率e∈0，22.

[點評]在本題的探究過程中，根據函數的定義域，即橢圓上的點的縱坐標y的取值范圍，結合所得的二次函數圖像可得出關于b，c的不等關系.該題也可做如下變形：已知A是橢圓

G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的右頂點，P是橢圓G上的動點，M（m，0），若PM的最小值為AM，確定m的取值范圍.

總之，構造函數輔助解題是高中數學中常用的一種解題

方法

與技巧，它是函數思想和構造法綜合應用的一種體現.應用

構造函數法的關鍵是根據題目的條件，利用函數的性質構造出滿足題意的函數對象，從而使所求解的問題得以順利解決.

（責任編輯黃春香）