基于雙冪次趨近律柔性火箭滑模變結(jié)構(gòu)控制

于亞男 吳 頎 王海鷹 金 龍

上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

運(yùn)載火箭在飛行過(guò)程中飛行空域變化很大，其氣動(dòng)參數(shù)變化范圍也較大，有些干擾或者參數(shù)甚至是無(wú)法確定的。飛行時(shí)，不僅內(nèi)部燃料消耗、液體晃動(dòng)引起的質(zhì)心偏移會(huì)影響運(yùn)載火箭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，還會(huì)受到風(fēng)干擾力矩等的影響。這些不確定因素對(duì)運(yùn)載火箭姿態(tài)控制的影響很大，箭體彈性與主體的耦合作用以及各種不確定性的影響可能會(huì)導(dǎo)致運(yùn)載火箭控制失效，因此要求運(yùn)載火箭姿態(tài)控制算法具有較好的魯棒性。在傳統(tǒng)控制方法中，通常采用變?cè)鲆婧妥兙W(wǎng)絡(luò)的方法，在不考慮外界干擾和耦合的條件下在不同時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行頻域設(shè)計(jì)，這就要求控制系統(tǒng)有較好的裕度，對(duì)于不同的飛行階段，采用不同的動(dòng)靜態(tài)增益和校正網(wǎng)絡(luò)。這種方法對(duì)于發(fā)射不同有效載荷的運(yùn)載火箭來(lái)說(shuō)，每一發(fā)都需要重新設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)效率低，對(duì)外界不確定干擾的魯棒性較差。因此，自適應(yīng)性和魯棒性能較好的運(yùn)載火箭姿態(tài)控制方法成為現(xiàn)階段研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制算法是一種自適應(yīng)性魯棒性能好的控制方法，廣泛應(yīng)用于具有不確定特性的飛行器姿態(tài)控制算法中[2]，但是傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法在實(shí)現(xiàn)控制時(shí)存在嚴(yán)重的抖振問(wèn)題，這對(duì)控制器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能有很高要求，實(shí)現(xiàn)困難[3]。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)抖振問(wèn)題提出了一些解決方法，一種方法是在滑動(dòng)平面的兩邊引入邊界層，文獻(xiàn)[4]利用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)達(dá)到抑制抖振的目的，但這種方法邊界層厚度的值是固定的，是以減弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的魯棒性為代價(jià)的。文獻(xiàn)[5]提出一種具有動(dòng)態(tài)邊界層的飽和函數(shù)控制法，可使邊界層隨狀態(tài)軌跡的收斂而逐漸收縮到與滑模面重合，使?fàn)顟B(tài)軌跡最終收斂到切換平面上。隨著遺傳算法等人工智能控制算法的發(fā)展，文獻(xiàn)[6]以輸入輸出反饋線性化進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換，采用模糊控制理論改進(jìn)指數(shù)趨近律，并通過(guò)遺傳算法進(jìn)行控制參數(shù)優(yōu)化。但這些方法中均沒(méi)有具體地考慮模型不確定性和外界干擾的影響。對(duì)于柔性運(yùn)載火箭這種模型較為復(fù)雜的系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)研究的內(nèi)容較少，文獻(xiàn)[7]針對(duì)柔性運(yùn)載火箭的滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制問(wèn)題提出了一種基于超螺旋算法的解決方法，超螺旋算法可以在不需要增加觀測(cè)量的基礎(chǔ)上解決滑模變結(jié)構(gòu)的抖振問(wèn)題，但是超螺旋算法僅適用于系統(tǒng)相對(duì)階為1的問(wèn)題，使用時(shí)需要有此類證明。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的結(jié)論，雙冪次趨近律具有固定的時(shí)間收斂特性，又能有效消除滑模變結(jié)構(gòu)的抖振問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)存在有界集的擾動(dòng)時(shí)，能保證滑模及其一階導(dǎo)數(shù)有限時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)誤差內(nèi)。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文建立了具有彈性特性的運(yùn)載火箭俯仰方向的小偏差數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)基于快速冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，為了改善控制器的魯棒性和抗干擾能力，提出了應(yīng)用雙冪次趨近律算法實(shí)現(xiàn)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，最后驗(yàn)證了此算法的優(yōu)越性。

1 運(yùn)載火箭數(shù)學(xué)模型

考慮運(yùn)載火箭的彈性振動(dòng)，根據(jù)小偏差線性化方法將姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到的俯仰通道模型為

(1)

彈性振動(dòng)方程為：

(2)

彈性振動(dòng)模態(tài)被看作擾動(dòng)項(xiàng)，將模型規(guī)范化，寫成狀態(tài)方程的形式為：

(3)

2 基于彈道傾角觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由于彈道傾角θ在實(shí)際的火箭飛行過(guò)程中無(wú)法精確測(cè)量，所以要通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)得到，觀測(cè)器的引入使得受控系統(tǒng)狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為可能。

定理：對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變被觀測(cè)系統(tǒng)：

(4)

其中，A∈n×n，B∈n×p，C∈q×n，{A,C}完全能觀測(cè)。那么，若系統(tǒng)輸出矩陣C為滿秩，即rankC=q，則系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測(cè)器ΣROM的最小維數(shù)為

dimΣROM=n-q

進(jìn)而，若觀測(cè)系統(tǒng)為單輸出即q=1，則降維觀測(cè)器ΣROM的最小維數(shù)為n-1。若被觀測(cè)系統(tǒng)為多輸出即q>1，則降維觀測(cè)器ΣROM的最小維數(shù)為n-q，則q越大ΣROM的最小維數(shù)越小，即降維觀測(cè)器ΣROM結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單。

取降維觀測(cè)器為n-q維降維狀態(tài)觀測(cè)器：

(5)

其中，(n-q)×(n-q)矩陣F的特征值可按期望要求任意配置，系數(shù)矩陣滿足關(guān)系式：

圖1 基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)

(6)

(7)

系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示

圖2 狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)G=c1，F(xiàn)=c2-c1，H=c3。

3 運(yùn)載火箭滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制

為了確保設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)控制具有良好的手鏈特性和魯棒性，本文使用具有固定時(shí)間收斂特性的雙冪次趨近律進(jìn)行趨近律設(shè)計(jì)。

雙冪次趨近律如下：

(8)

其中：k1>0,k2>0,a1>1,0

本雙冪次趨近律具有固定時(shí)間收斂特性的證明：

(9)

(10)

證明：當(dāng)s>0時(shí)，滿足a1+a2=2，若雙冪次趨近律可以有

方程兩邊同時(shí)除以sa2，則上式可以寫為

令y=s1-a2，則s=y1/(1-a2)，帶入上式化簡(jiǎn)后得到廣義的Riccati微分方程為

其通解為

由s(0)=s0可得

由上式可得，滑模初值s0僅出現(xiàn)在反正切函數(shù)里，由反正切函數(shù)y=arctan(x)∈[0,π/2),x≥0

因此，這類雙冪次趨近律的收斂時(shí)間存在上確界Tsup，且Tsup與滑模初值s0無(wú)關(guān)。

(11)

根據(jù)雙冪次趨近律的定義

(12)

根據(jù)式(11)和(12)，可得

則控制變量：

(13)

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證基于觀測(cè)器雙冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制在運(yùn)載火箭姿態(tài)控制上應(yīng)用的有效性，應(yīng)用實(shí)際動(dòng)力學(xué)參數(shù)，將其控制效果和基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制方法進(jìn)行了仿真比較。

1)不同初值條件下的收斂時(shí)間

圖3 不同初值條件下雙冪次趨近律s和收斂曲線

2)系統(tǒng)存在有界集總擾動(dòng)時(shí)的控制效果

考慮運(yùn)載火箭箭體3階彈性振動(dòng)模態(tài)，將彈性振動(dòng)對(duì)箭體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響作為干擾項(xiàng)，箭體的俯仰方向彈性振動(dòng)曲線如圖4所示，將外界干擾和姿態(tài)角初值干擾作為耦合干擾項(xiàng)，考慮實(shí)際情況中發(fā)動(dòng)機(jī)擺角限幅，設(shè)計(jì)滑模控制器控制參數(shù)，并對(duì)控制效果曲線進(jìn)行仿真。

圖4 彈性振動(dòng)干擾曲線

圖5 基于雙冪次趨近律的姿態(tài)角控制效果曲線

圖6 基于雙冪次趨近律的發(fā)動(dòng)機(jī)擺角Δδ曲線

由以上仿真分析可知：基于雙冪次趨近律設(shè)計(jì)的控制器具有全局快速的固定時(shí)間收斂特性，收斂時(shí)間存在與滑模初值無(wú)關(guān)的上界。雙冪次趨近律能保證滑模及其一階導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間收斂到穩(wěn)態(tài)誤差界內(nèi)；在控制力矩受限的條件下，基于雙冪次趨近律算法的滑模變結(jié)構(gòu)控制器能實(shí)現(xiàn)箭體柔性振動(dòng)等有界集總擾動(dòng)條件下的姿態(tài)穩(wěn)定控制，并消除了滑模控制抖振的問(wèn)題。

5 結(jié)論

提出了一種基于彈道傾角觀測(cè)的運(yùn)載火箭滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)方法，該方法采用雙冪次趨近律滑模函數(shù)，具有全局固定時(shí)間收斂特性的同時(shí)能夠有效抑制變結(jié)構(gòu)控制引起的高頻抖振。數(shù)值仿真表明，考慮實(shí)際情況控制受限時(shí)，在箭體系統(tǒng)存在有界集總擾動(dòng)作用下，提出的控制器表現(xiàn)出良好的自適應(yīng)能力和魯棒性。基于雙冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)算法具有全局固定時(shí)間收斂特性并解決了滑模算法高頻抖振的問(wèn)題，但是應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)仍存在不足，滑模控制參數(shù)選擇仍采用試湊法，后續(xù)工作中考慮進(jìn)一步研究滑模參數(shù)自適應(yīng)的控制方法。

參 考 文 獻(xiàn)

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