基于數形結合思想在高中數學解題中的應用

張瀟譯

【摘要】作為數學解題中常見的一種方式，數形結合方法的使用使得解題過程更加簡單、直觀.本文以數形結合思想在高中數學解題中的應用為研究內容，通過實際案例分析，對數形結合思想的應用進行講解，以指導高中生對這一解題思想的靈活應用.

【關鍵詞】數形結合；高中；數學；解題

在數學解題過程中，利用幾何知識與代數知識的轉換，能夠有效降低題目難度，使解題步驟更加清晰，提高了解題的準確率.

一、數形結合思想概述

數形結合思想中的“數”意味著數字、代數，而“形”這代表著幾何圖形，數形結合思想就是將這兩種簡單的數學基礎知識進行融合，使用幾何圖形關系來表述代數關系，而代數關系也可以通過幾何圖形進行直觀的展現.因此，在數學解題過程中，數形結合思想的應用主要有兩種形式：代數知識輔助解答幾何題目，或者是幾何知識輔助解答代數題目.

二、數形結合中的轉換措施

根據數形結合的實際使用效果來看，“數”與“形”之間的轉換的形式多種多樣，具體包括“形”向“數”的轉換、“數”向“形”的轉換，以及“數”和“形”之間的相互轉換.

在“形”向“數”的轉換過程中，是根據當前題目中所給出圖形的已知信息，經過分析，找出在幾何圖形中所隱藏的代數關系，并用數字進行表達，對幾何圖形類題目的解答提供幫助.

“數”向“形”轉換的實際使用有著一定的限制，多以題目中的問題進行假設，并將假設以幾何圖形的方式進行展現，從而有助于更好地說明假設中所表現出來的數量關系.

“數”與“形”之間的相互轉換，在實際解題過程中的應用較為廣泛，其主要利用了數學知識中“數”“形”相互對立的思想，在幾何圖形與代數關系之間尋求轉換的平衡性，以利于對題目的分析和解答.

由此可見，數形結合思想的使用，需要根據實際題目的需要選擇合適的“數”“形”轉換措施，單一的數形結合轉換措施并不能解決所有問題.

三、數形結合思想在高中數學解題中的實際應用

高中數學解題過程中，數形結合思想的使用不僅提高了數學解題的速度和準確度，也在一定程度上培養了學生的數學思維能力，提高了學生對數學學習的興趣.

（一）集合類型題目中的數形結合思想

在高中數學基礎知識中，集合知識屬于考試的重點內容，并作為數學知識延伸的重要鋪墊，在教學內容中屬于較為重要的部分.其中，集合知識中的交際、補集、并集等知識的介紹，就用到了幾何圖形輔助描述，因此，在高中集合類型題目的解題過程中，使用數形結合的思想也就不足為奇.

例1 存在兩個集合M，N，集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N=M={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，求M∩N中元素的數量.

解析 如果采用直接求解法，將題目中的兩個方程x2+y2=1，x2-y=0組成方程組，求得對應未知量x，y的取值范圍，盡管，這種解題方法可以得到最終答案，但是，對于數學基礎較差的學生來說，解題過程過于煩瑣，不僅浪費了大量時間，出現錯誤的可能性也大大增加.在該題目中，以數字形式表述的集合關系過于抽象，即便通過計算求得了相關未知量的取值范圍，也需要利用幾何知識進行直觀的展現.其中x2+y2=1是半徑為1的圓的通用表達式，而x2-y=0則是常見的拋物線，因此，求解兩個集合的交集，也就變為求兩個圖形的交點，解題難度大大降低，思路也更加清晰.

（二）函數類型題目中數形結合思想的應用

函數的學習幾乎貫穿于數學學習的整個過程，是數學知識體系中較為基礎的內容，在高中階段的函數學習已經不再是簡單的函數基礎知識學習，更重要的是學會利用函數關系解決實際問題.對于這一理論性與抽象性同時存在的數學基礎知識，在相關題目中，該類型題目不僅包含多種函數關系，還可以借助幾何圖形進行輔助理解，極大地降低了函數類型題目的難度，提高了解題效率.

例2 求解方程sin2x=sinx在區間x∈（0，2π）中的解的個數.

解析 該題目看似簡單，但是其中涉及的知識內容則較為豐富，如果直接進行解題，則需要進行適當的函數變形，利用sin2x=2sinxcosx=sinx的變化關系，且在區間x∈（0，2π）上，sinx≠0，所以，cosx=12，這樣也可以找到3個答案與之對應.但是，對于函數變形掌握程度較差的學生來說，則可以使用數形結合的思想進行解答，通過建立坐標系的方式，將兩個三角函數在利用平面幾何圖形進行展現，在保證幾何圖形繪制過程中相關參數正確的同時，就可以直觀地發現兩個圖形的交點數量，問題也就得到解答.

基于數形結合思想在數學解題中所體現出來的簡便性、高效性等特點，在實際解題過程中，也常常被用來檢驗答案是否正確.因此，掌握數形結合思想，對于提高數學解題效率有著極為重要的作用.

四、總 結

在高中數學解題方法中，數形結合思想有著較為廣泛的應用，基于數形結合思想在數學解題中應對措施的不同，在使用這一方法進行解題時，應明確“數”“形”之間轉換關系，選擇與之相適應的解題方法.盡管，數形結合思想能夠幫助高中生提高數學解題效率，卻不能忽視數學基礎知識所起到的重要作用，牢固掌握數學基礎知識，建立完善的“數”“形”知識體系，能夠促進高中生對數形結合思想的有效應用.

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