微積分總覽

茍銀霞

【摘 要】微積分是高等數學中研究函數的微分、積分及有關概念和應用的數學分支。主要包括極限、微分學、積分學。由于它的博大精深，以及現在市場、學校充斥著形形色色教材、習題，這樣容易讓初學者迷失方向，微積分是什么，主要解決什么等等一系列的問題更讓人迷惑，因此給出微積分的總覽是必要的。

【關鍵字】微分 積分 函數 思想。

一、微積分總覽

眾所周知，微積分在整個高等數學的占有相當重要地位，關于微積分的課本、習題集更是琳瑯滿目?；旧纤械慕滩慕档轿⒎e分都是在重復古人無限細分取極限的思想，這樣，就讓學生聽得滿頭霧水，其實，微積分就是研究兩個成對函數之間的關系。

1.微積分的實質

在以下的例子中，我們設 表示路程（位移）， 表示速度，符號 也表示速度，用 表示平均速度。文中所指的積分在沒有特殊說明的時候都是指不定積分。

若物體做勻加速運動，那么 、 之間的微積分關系是怎樣的呢？

第一，分關系（已知 求 的過程，即已知位移求速度。）

根據物理知識，初速度為0的勻加速運動位移為 ，而 ，顯然，運動過程中的平均速度為 ，在任一點處的瞬時速度 ，也就是說微分只關心瞬時情況，在數值上與平均變化率的極限相等。

第二，分關系（已知速度求位移）

設勻加速運動中，初速度 ，任意時刻的末速度為 ，則 與圖2中曲線下方圖形的面積相等。也就是說積分在某一時刻的值等于對應曲線下方圖形的面積。

因此，我們不難得出，微分的本質是“無限細分”，積分的本質是“無限求和”。二者是互逆運算。

2.微積分的思想

在許多高等數學教材中，所呈現的是一套經過邏輯加工的完美數學體系，往往忽視了其中所隱藏的奧秘。微積分之所以重要，在于它所蘊含的數學思想與數學方法，兩者相輔相成，缺一不可。

第一，“極限思想”。極限的思想出現在微積分里是必要的，因為我們要用代數去衡量“無限”的量本身是無法實現的，只有借助極限的思想，才能夠把“無限”的量代數化，在微積分里我們不難看到以下幾個事實，一是，增量無限趨于0；二是，割線無限趨于切線；三是，曲線無限趨于直線。這里面全都涉及到“極限思想”，可見，“極限思想”在微積分里的作用不可小覷。

第二，“以直代曲”的思想。在不定積分與二重積分的定義中，以曲線無限趨于直線，從而“以直代曲”，使得積分的計算得以實現，此外，定積分求曲線弧長、求幾何體的體積的計算公式都是“以直代曲”的結果?！耙灾贝庇镁€性化方法解決非線性化問題是微積分的另一精髓所在。值得指出的是并非任何情況下都可以“以直代曲”，根本原因在于在“以直代曲”的過程中，并不是用等價無窮小去代替的，在具體的問題中還需注意能不能轉化。

第三，“有限化無限，無限化有限”。一是，通過有限認識無限，如無窮求和 ，我們假設有限項的部分和 ，用等比數列求和公式有 ，當 時有 ，因此，我們認為該無限項的和是1。二是，用無限確認有限，如曲邊梯形的面積問題，面積是一個有限數，而我們采用的是無限細分的方法，把一個有限的量轉化成了一個無限項和的形式，從有限到無限，進而求出它的精確值。

3.微積分的精髓

微積分作為高等數學的主要分支，是以函數為主要的研究對象，其中有很多著名的定理，如“羅爾定理”、 “柯西定理”、“拉格朗日中值定理”以及“微積分基本定理”等等一列系的定理推論。它們把函數、函數的導數、函數的積分聯系起來，使三者可以互相轉化，成為一個有機整體。

二、小結

微積分作為數學的主要分支，它的價值不在于掌握死板的知識理論，更重要的是理解其中所隱藏的奧秘——數學思想與數學方法，這些思想方法是在累積了前人大量成果的基礎上慢慢沉淀、總結出來的。如何利用微積分在學習、生活中實現目標最大化、效果最優化才是重中之重。

參考文獻

[1]劉里鵬.《從割圓術走向無窮小——揭秘微積分》，科技出版社，2009.

[2]蔣金弟.《高等數學教學中學生數學思維能力的培養》，文化與教育技術，2010.

[3]邵光華.《作為教育任務的數學思想與方法》上海教育出版社，2009