用常數變易法求解非齊次線性偏微分方程

康寧　趙俊芳　廉海榮

以有界弦振動模型為例，介紹常數變易法求解非齊次線性偏微分方程定解問題的形式解。首先利用分離變量法求出對應齊次邊值問題的解， 然后實施常數變易法得到結論， 此方法可推廣到其它非齊次模型中。

1前言

在《數學物理方程與特殊函數》中，作者將弦的振動分解為由外力引起的弦振動和由初始位移引起的弦振動，分別用分離變量法和特征函數法求解，再進行疊加。在吳崇試編撰的《數學物理方法》中也采用了此方法。在梁昆淼編撰的《數學物理方法》中，作者用沖量定理法，將持續作用力引起的振動看作“瞬時”力引起的振動疊加。當非齊次項特殊時，也可采用特殊方法。

常數變易法是求解非齊次線性常微分方程中介紹的一種技巧方法。例如考慮非齊次方程 ，其對應齊次方程通解為： ，常數變易法就是將通解中C變換為函數， 代入原方程確定出待定函數 。

本文將利用常數變易法求解非齊次線性偏微分方程。 據作者所知，用這種方法研究偏微分方程尚未出現（[1]，[2]，[3]，[6]）。

2主要內容

2.1有界弦的自由振動（忽略初始條件）

其中， 為非負常數且 。若取 ，則（2）為第一類邊界條件；若取 ，則（2）為第二類邊界條件；其他情況，則（2）為第三類邊界條件。

下面將采用變量分離法求（1）-（2）的形式解。

令 代入（1）-（2）將得到一個線性特征值問題，

（3）

和一個二階常微分方程，

（4）

對于特征值問題（3），由姜禮尚等編撰的《數學物理方程講義》中定理4.1（P67）， 有

（i）. （3）的所有特征值組成一個單調遞增以無窮遠點為凝聚點的序列：

（ii）. 不同特征值對應的特征函數正交，即 與此同時，（4）有解，

（5）

故（1）-（2）有形式解，

其中 由初始條件確定。

2.2有界弦的強迫振動模型

考慮外力密度函數為 的有界弦的強迫振動方程為，

（6）

邊界條件為（2）， 初始條件為，

（7）

（2），（6），（7）構成強迫振動模型。

為了求解上述方程，先用變量分離法求齊次方程（1）-（2）的解為，

然后做常數變易，注意到特征值受邊界條件的限制，故 ， 變易為t的函數，記

即有界弦的強迫振動模型的解形如，

（8）

將（8）代入（6）和（7），得，

其中， 是 關于 的傅里葉系數。利用拉普拉斯變換法或常數變易法，求解該常微分方程得，

故（6），（2），（7）的解為，

3總結與舉例

除弦振動方程外，常數變易法也可用于求解其他非齊次線性偏微分方程，如熱傳導方程、拉普拉斯方程和泊松方程等。

例1 固定的有界弦強迫振動模型

（9）

解： 利用變量分離法求在對應齊次方程在第一類邊界（9）下的解，得特征值問題，

求解特征值為 ，特征函數為 。利用常數變易法，設原模型有解形如 。代入得到常微分方程初值問題， 求解得，

故固定的有界弦強迫振動模型的形式解為：

例2. 熱傳導模型

解： 利用變量分離法求在對應齊次方程在混合邊界下的解，得特征值問題（11）

和二階常微分方程

求解特征值問題（11）的特征值為 ，特征函數為 。利用常數變易法，設原模型有解形如

。

代入得到常微分方程初值問題， 得，

（作者單位：中國地質大學（北京）數理學院）