一道中考錯題的分析與啟示

趙侖

筆者在做廣安市2017年數(shù)學(xué)中考題的時候，發(fā)現(xiàn)自己的做法以及答案與提供的標(biāo)準(zhǔn)答案均不同。用不同的方法得出不同的結(jié)論，這就出現(xiàn)了矛盾。筆者進(jìn)一步對該試題進(jìn)行深入研究，得出針對該題的分析、思考以及對教學(xué)的啟示。

經(jīng)過這樣的修正，不僅消除了條件中的矛盾，同時此題需要考查的三個知識點(diǎn)：①解（直角）三角形；②相似三角形的判定；③相似三角形的性質(zhì)均的得到保留。

5 三點(diǎn)啟示

5.1 提升作圖教學(xué)在幾何教學(xué)中的地位

對于幾何的解題方法，筆者印象最為深刻的是在單樽教授開設(shè)的《解題方法研究》課上，單樽教授的一句話：當(dāng)遇到一題不會做的幾何題時，按照題意重新畫出圖形，很多時候解法就自然想到了。看似很簡單、很普通的一句話，但是卻蘊(yùn)含著教授一輩子對于幾何解題方法的心得和體會。

作為教師，我們深諳作圖的妙處，如：能直觀的看到整個圖形詳細(xì)的構(gòu)建（思維的分析與綜合）；能全面的了解條件（思維的抽象與概括）；能在作圖的過程中，找到奠基三角形（搭建解題支架）......如果上述中考題在作圖中，能夠考慮到奠基三角形，那么就一定可以避免出現(xiàn)條件與條件之間相斥的現(xiàn)象（思維的比較與分類。）在實(shí)際教學(xué)中，我們也同時切身的感受到，學(xué)生的作圖能力非常欠缺，這樣的欠缺在很大程度上就阻礙了學(xué)生在幾何解題能力上的提升和發(fā)展。因此，在幾何教學(xué)中重視作圖教學(xué)就顯得尤為重要。筆者曾經(jīng)在一段時期的幾何課堂教學(xué)中，嘗試著由學(xué)生自己根據(jù)條件畫出圖形。初始階段雖有各種困難，但隨著時間的推移，效果逐步顯現(xiàn)，學(xué)生自己作圖對尋找正確解題思路的提供了很大的幫助。

5.2 重視學(xué)生錯誤的教學(xué)意義

就宏觀的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程而言，一般來說都是先提出假設(shè)，繼而證實(shí)（或證偽）假設(shè)，最后修正假設(shè)。從這個角度看，錯誤可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對一個假設(shè)進(jìn)行的某種嘗試。作為教師，很準(zhǔn)確的抓住這個錯誤，協(xié)助學(xué)生對這些假設(shè)進(jìn)行修正，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和自我發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力自然可以得到提升。從情感目標(biāo)這個維度看，《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的錯誤，教師要耐心引導(dǎo)，并分析其產(chǎn)生的原因，鼓勵他們自己去改正，從而增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。”

因此，學(xué)生在不斷糾錯的學(xué)習(xí)過程中，不僅僅得到了正確的答案，更領(lǐng)略了猜想、探索的過程，這樣獲得的成就感才是持久的。哲學(xué)家黑格爾說過“錯誤本身乃是達(dá)到真理的一個必然的環(huán)節(jié)”。因此，教師只有真確面對學(xué)生在解題、思維上的各種錯誤因素，才有可能取得好的教學(xué)效果。

從具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)角度看，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，產(chǎn)生錯誤的原因既有學(xué)生的因素，也有教師的因素，但糾其根源還是教師的因素。教師重視學(xué)生錯誤的教學(xué)意義，在備課中，教學(xué)設(shè)計(jì)將更加精準(zhǔn)，課堂教學(xué)模式和教學(xué)策略將更加合適，教學(xué)的有效性也必然得到提升。

以本文的中考題為例，如果我們能夠在課堂上拋出矛盾，甚至是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)矛盾，那么“高高在上的中考題”與“竟然是錯題”差別如此之大的信號，一定會引起學(xué)生的注意。學(xué)生在糾錯過程中，上文論述的思維和解題能力，勢必會得到有效的提升。學(xué)生學(xué)會從別人的錯誤中提高自己，比被動的反復(fù)灌輸會更有效果。

5.3 添加輔助線的教學(xué)簡單化

添加輔助線是學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中一個的必修內(nèi)容，以輔助線為主題的研究、探討經(jīng)久不衰。歸納起來，無非兩個主題：①是否需要添加輔助線；②怎樣添加輔助線。添加合適的輔助線能巧妙的將條件連接起來，成為解決問題的橋梁；有時也可以起到簡化證明方法的作用；這也是主題①所討論的重點(diǎn)；主題②的討論更多，分類更細(xì)，更得出了很多常規(guī)化、模式化甚至是口訣化的添加輔助線方案。

章建躍教授在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中，對于輔助線添加的描述則更為簡潔：輔助線的添加通常都是與圖形變換有關(guān)。因此，在添加輔助線的教學(xué)中，適度簡化，用兩個問題取代上述的兩個主題：此題一定要添加輔助線嗎？這樣添加的輔助線正確嗎？

（作者單位：南京玄武外國語學(xué)校）