勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用特點(diǎn)探討

肖力

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中經(jīng)常被運(yùn)用，是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，隨著教學(xué)內(nèi)容的不斷深入，其邏輯性和抽象性逐漸增強(qiáng)，尤其在初中階段，很多數(shù)學(xué)問題使用常規(guī)的思路進(jìn)行解答，過程往往太過繁瑣，如果巧妙利用數(shù)學(xué)公式和定理進(jìn)行求解，很容易化繁為簡(jiǎn)，取得事半功倍的效果。在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，勾股定理就是一個(gè)簡(jiǎn)化解題流程的重要定理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生充分利用勾股定理解決諸多數(shù)學(xué)問題。

[關(guān) 鍵 詞] 勾股定理；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用特點(diǎn)

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）20-0236-01

勾股定理是人類較早發(fā)現(xiàn)并獲得證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，也是應(yīng)用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶。勾股定理從古至今大概有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方式最多的。早在公元前十一世紀(jì)的中國(guó)先秦時(shí)期，周朝的數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”的概念，故此勾股定理也被稱為商高定理。而在西方最早提出并證明此定理的是公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，因而西方人習(xí)慣稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

勾股定理在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系里占據(jù)重要的地位，是一個(gè)很實(shí)用的定理，通過勾股定理不僅能很好地解決直角三角形中求某一邊長(zhǎng)、某一角度的問題以及在幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中計(jì)算和證明直角三角形的相關(guān)問題，還能夠解決我們?cè)谌粘Ｉ罨蚬ぷ髦杏龅降囊恍﹩栴}。因此，初中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好勾股定理，利用這一定理快速、有效地解決學(xué)習(xí)和生活中的各種相關(guān)問題。下面本文就從“線段求長(zhǎng)問題”“求角度問題”“證明垂直和平行問題”以及“實(shí)際生活問題”四個(gè)方面探討勾股定理的具體運(yùn)用，希望能夠給初中數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)提供幫助。

一、運(yùn)用勾股定理解決線段求長(zhǎng)的問題

利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，線段求長(zhǎng)的問題如果運(yùn)用常規(guī)方法來解決，過程大都比較繁瑣，而運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解答則能取得令人滿意的效果：在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b，斜邊長(zhǎng)度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：a2+b2=c2。

例如，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為3，l2與l3之間的距離為5，求AC的長(zhǎng)度。

二、運(yùn)用勾股定理解決求角多少度的問題

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有些求角多少度的問題運(yùn)用勾股定理，也能很快地解決。

例如，已知三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)，求三個(gè)角度的問題。a，b，c為三角形三邊長(zhǎng)度，A，B，C分別為邊a，b，c相對(duì)的角。像這樣的問題就可以運(yùn)用勾股定理三角函數(shù)公式進(jìn)行解答：sin A= a/c；cos A=b/c； tan A=a/b；cot A=b/c，∠B和∠C也是如此套用。這樣運(yùn)用勾股定理三角函數(shù)公式就很容易求出三個(gè)角的度數(shù)了。

三、運(yùn)用勾股定理證明垂直和平行的問題

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，運(yùn)用勾股定理證明垂直的問題也有很大的效果。

例如，如圖2所示，在正方形ABCD中，EFGH是四條邊上的一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，求證EF∥GH，或是證明HE⊥EF。

證明：由已知條件ABCD是正方形，且AE=BF=CG=DG，設(shè)AE=a，AH=b，EH=c，則△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DGH，且均為直角三角形，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠HEF=180°-（∠AEH+∠BEF）=90°∴HE⊥EF。同理，HE⊥HG，∴EF∥GH。

四、勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

對(duì)于勾股定理，還能夠解決實(shí)際問題，并且這些實(shí)際問題都是在日常生活中可以看到的。

例如，一座山高500米，坡度30°，現(xiàn)有學(xué)生A某在山頂受傷，無法下來，此時(shí)救援醫(yī)護(hù)人員B在山腳以100米/分的速度向上攀登救援，試問：救援醫(yī)護(hù)人員B至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)學(xué)生A某所在的位置？

解：根據(jù)題干給出的已知條件，可以得出AC=500米，∠ABC=30°，此題需要利用勾股定理中的三角函數(shù)公式進(jìn)行分析解決，Sin30°=1/2=0.5，∴AB之間的距離為500÷0.5=1000米，1000÷100=10分鐘，∴救援醫(yī)護(hù)人員B需要10分鐘才能達(dá)到學(xué)生A所在的山頂位置。

在這道題中，利用了勾股定理中的正弦定理，在已知高度和角度的山坡上，求出山坡的長(zhǎng)度，再計(jì)算出救援人員到達(dá)的時(shí)間，在生活中是一種比較常見的例子。其實(shí)，利用勾股定理解決我們生活中的實(shí)際問題，需要先找出直角三角形來，然后再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解。在上面登山遇險(xiǎn)救援的案例，就是先構(gòu)建出直角三角形，根據(jù)勾股定理利用已知的條件進(jìn)行計(jì)算，解決實(shí)際的問題。

勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，有著巨大的實(shí)用價(jià)值，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以及我們的實(shí)際生活中，有許多問題都可以運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算解答，包括教材中的“求線段長(zhǎng)的問題”“求角多少度的問題”“證明垂直或平行的問題”及“實(shí)際生活的問題”等。因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中，要善于引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理進(jìn)行解題，這樣不僅能拓寬學(xué)生解題的思路，還能提高他們解題的速度和效率。此外，還能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)和我們?nèi)粘Ｉ畹拿芮嘘P(guān)系，為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]孟昭波.淺談勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2014，11（10）.