結合波利亞解題思想擬定解題方案

寧鷹

[摘 要] 波利亞將解題過程分為四個階段，即理解題目、擬定方案、執行方案、回顧。其中擬定方案是難點所在，波利亞認為，方案的擬定和過去已經掌握的知識經驗密切相關，他曾經將擬定方案比喻成建造一棟房子，而已有的知識經驗就是房子的建筑材料，這個比喻是極為恰當的。結合波利亞的數學思想，以解“雞兔同籠”問題為例對擬定方案的思路進行反思，將擬定方案分三步走，總結擬定方案的經驗。

[關 鍵 詞] 波利亞數學思想；擬定方案；雞兔同籠

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）23-0128-01

理解題目是波利亞解題的第一個階段，這個階段主要是把握已知量與未知量，學生在解題中，這個階段一般都可以較好地完成。最令學生困惑的其實就是第二個階段，也就是擬定方案。學生如果能擬定出正確的解題方案，一般是可以解決問題的。在擬定方案的解題表中，波利亞給出了很多提示性的問題，如：你以前見過它嗎？你知道一道與它有關的問題嗎？等等。這些提示性問題其實就是為了讓學生腦海中能夠閃現一個好的“點子”，一個好“點子”也許會產生好的解題思路，從而推進方案的擬定。

為了讓學生更好地想出“點子”，我們可以進一步思考解題過程中是如何獲得這些“點子”的，然后把獲得“點子”的思路進行歸納總結。基于大量教學經驗，結合波利亞的解題思想，我們可以將擬定方案分三步走：第一，已經處理過的問題可以直接用已有的方案處理；第二，類似的問題盡量找到聯系以促進方案的擬定；第三，新的問題可以變換題目，以促進方案的擬定。

一、已經處理過的問題

問題1：小林買了10支筆，共14元，其中水芯筆2元，鉛筆5角。問小林水芯筆和鉛筆各買了多少支？

思路分析：

首先判斷是否處理過這樣的問題，答案是肯定的。我們可以找到“雞兔同籠”問題，如：“雞和兔子關在同一只籠子里，上面看共10個頭，下面看有32只腳。問雞和兔子各有多少只？”

然后我們回顧“雞兔同籠”的解題方案：假設全是兔子，那么就有10×4=40只腳，這就比已知的32只腳多出了40-32=8只腳，因為1只兔比1只雞多4-2=2只腳，由此即可求得雞的只數為8÷2=4只，進而求得兔的只數為10-4=6只。

最后可以直接用已有方案，如：假設全是水芯筆，那么就花了10×2=20元，這就比已經花的14元多6元，因為一支水芯筆比一支鉛筆多2-0.5=1.5元，由此可以求得鉛筆的支數為6÷1.5=4支，進而求得水芯筆的支數是10-4=6支。

反思：通過這個例題以及分析我們可以發現，有許多問題實質是一樣的，只是情境不一樣。面對這樣的問題，我們可以采用已有的處理方法擬定解題方案。

二、類似的問題

問題2：雞兔同籠，雞比兔多10只，但雞腳卻比兔腳少60只，問雞兔各多少只？

思路分析：這個問題和我們常見的“雞兔同籠”問題不一樣，不能用已有方案解決。但是我們發現其未知量相同，并且已知量有一樣的地方，那就是一只雞比一只兔少兩只腳。題中雞比兔多10只的情況下，雞腳還比兔腳少60只，那假如雞和兔子一樣多，那么雞腳比兔腳少10×2+60=80只，由此可求得兔子為80÷2=40只，雞為40+10=50只。

反思：有些問題和我們已經處理過的問題類似，已知量和未知量相同或者相似，我們可以利用相似點尋找問題解決的突破口，擬定出方案。

三、新的問題

問題3：在我校舉行的“師范杯”數學奧林匹克競賽中，總共15道題，每做對一道題得8分，不做、做錯一道題倒扣4分，李亞同學把15道題全做了，共得了72分，她做錯了多少道題？

思路分析：這個問題的難點在于條件“不做、做錯一道題倒扣4分”。那么我們嘗試將這個條件改變，變成“不做、做錯一道題得4分”，如果這樣我們就將這個問題變成了“雞兔同籠”類型的問題了。那解題思路是：假設全部做對，那么就有15×8=120分，這就比已知的72分多出了120-72=48分，因為做對1道題比不做或做錯1道題多8-4=4分，由此即可求得不做或做錯的題數為48÷4=12道，進而求得做對的題數為15-12=3道。

在改變條件后的問題分析中，我們可以發現“假設全對多出的分數÷做對1道題比不做或做錯1道題多的分數=做錯題的數量”這個常識。那么根據“每做對一道得8分，不做錯一道題扣4分，”可以得出做對1道題比不做或做錯1道題多的分數為8+4=12分。由此，可以得到做錯的題數位48÷12=4道，進而求得做對的題數為15-4=11道。

反思：新的問題可以變換題目以激發出解題的思路，這種變換可以改變已知量，也可以改變未知量。在嘗試把問題變得可以解決后，再一步步探求問題間的聯系，擬定出解決問題的方案。

以上三個問題的解決都用到了假設法，這種方法是對未知量進行假設，然后按照條件推算，而推算的結果常常與已知量不相符，最后適當調整就可以得出正確答案。當我們掌握了以上三種題型，我們就可以把這三種題型歸結為“雞兔同籠”類型問題，而再次遇到這種問題，我們就可以用已有的方法擬定方案了。由此，我們也可以看出，波利亞的數學解題思想是把新的問題最終都變成已經處理過的問題。

參考文獻：

[1][美]G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海科技教育出版社，2007-05.

[2]羅增儒.數學解題學引論[M].陜西師范大學出版社，2016-08.