NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算

何東山

（咸陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

在固體物理學(xué)中，馬德隆常數(shù)是描述晶體結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征參數(shù)，通過(guò)馬德隆常數(shù)便可以計(jì)算出晶體的庫(kù)侖結(jié)合能。NaCl晶體一個(gè)原包的平均庫(kù)侖結(jié)合能可以表示為[1]

其中求和部分是取決于晶體結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱負(fù)值，將其記作-α，其中α被稱(chēng)作馬德隆常數(shù)，其表達(dá)式為

根據(jù)式(2)便可以計(jì)算出馬德隆常數(shù)，但是對(duì)于三維情況，上述級(jí)數(shù)收斂很慢。本文通過(guò)對(duì)一維和二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算分析，給出了減小計(jì)算量和加快收斂速度的方法，并計(jì)算了三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。

1 一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算

1.1定義算法

一維NaCl晶體是指Na+離子和Cl-離子在一條直線上等間距排列，其馬德隆常數(shù)為

式（3）的嚴(yán)格結(jié)果為2ln2[2]，如圖1所示，虛線表示α1隨計(jì)算項(xiàng)數(shù)N增加時(shí)的變化規(guī)律，實(shí)線表示α1的準(zhǔn)確值。根據(jù)式(3)，用Mathematica軟件給出了α1(N )的圖形，從圖（1）中可以看出隨著求和項(xiàng)數(shù)N增加時(shí)，α1在準(zhǔn)確值上下擺動(dòng)，且擺動(dòng)幅度大致相同，項(xiàng)數(shù)N越大時(shí)擺動(dòng)幅度越小，最終趨于準(zhǔn)確值。

圖1 定義法計(jì)算一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)

1.2改進(jìn)算法

從圖1中可以看出當(dāng)項(xiàng)數(shù)N增加1時(shí)，結(jié)合能增加一個(gè)Na+離子或Cl-離子，因此馬德隆常數(shù)在準(zhǔn)確值兩側(cè)擺動(dòng)，如果將公式修正為

圖2修正算法計(jì)算與定義算法對(duì)比

則收斂速度會(huì)大大加快。如圖2所示，虛線表定義法得到的馬德隆常數(shù)α1收斂情況，實(shí)線表示修正算法給出的馬德隆常數(shù)α1'收斂情況。圖中給出了修正算法計(jì)算與定義算法對(duì)比，可以看出修正算法的收斂速度遠(yuǎn)大于定義算法。……