例析導數壓軸題中嚴格不等式的證明

李 寧 賀航飛 唐盛彪

(海南省海南中學 571158)

資金項目：本文為海南省教育科學“十三五”規劃立項課題《基于云平臺教學的數學特優生校本課程開發實踐》(課題編號：QJZ13516009)研究成果之一.

嚴格不等式f(x)>g(x)的證明是導數壓軸題中一類常見的問題. 這類問題的表達式中通常會混合多種類型的函數，解法靈活且具有一定的難度，能很好考查學生的洞察力.

例題當x>0時，證明不等式：ex>lnx+2.

本文以此題為例，從不同方向入手探索這類問題的解題策略.

一、借助隱零點估計最值來證明f(x)-g(x)>0

要證明f(x)>g(x)，只需證明f(x)-g(x)>0，此時只要求出f(x)-g(x)的最小值與0比較即可. 但是通常導函數的零點不能求出，可以對零點采取設而不求的策略來估計f(x)-g(x)的最小值.

又當x∈(0,x0)時，h′(x0)<0；當x∈(x0,+)時，h′(x0)>0. 從而x0是h(x)的極小值點，也是最小值點，即

變式1 當x>0時，證明不等式(x-2)lnx+1>0.

又當x∈(0,x0)時，f′(x0)<0；當x∈(x0,+)時，f′(x0)>0. 從而x0是f(x)的極小值點，也是最小值點，即設則從而g(x)在(1,2)上單調遞減，故g(x)

二、通過f(x)min>g(x)max來證明f(x)>g(x)

計算出f(x)min,g(x)max，一旦f(x)min>g(x)max成立，則必有f(x)>g(x)，此時的函數不等式相對比較弱. 還有一種情形是，f(x)min=g(x)max，但兩邊取最值的條件不同，也有f(x)>g(x). 回到例題，不等式的兩邊均無最值，此時得設法等價改造使得能求最值.

三、通過f(x)>h(x)>g(x)來證明f(x)>g(x)

以上思路是在中間找一個常數作為中介來證明f(x)>g(x). 類似地，我們也可以通過適當放縮在中間插入一個函數作為中介來證明f(x)>g(x). 函數不等式ex≥x+1及其等價形式lnx≤x-1是常用的放縮工具，也是例題的背景.

證法3 首先證明不等式ex≥x+1.

設f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1. 當x∈(-,0)時，f′(x)<0；當x∈(0,+)時，f′(x)>0. 從而x=0是f(x)的極小值點，同時也是最小值點，即f(x)≥f(0)=0，故ex≥x+1，等號成立當且僅當x=0.

當x>-1時，由ex≥x+1得x≥ln(x+1). 從而當x>0時，x-1≥lnx，等號成立當且僅當x=1.

于是當x>0時，ex>x+1=(x-1)+2≥lnx+2，ex>lnx+2得證.

參考文獻：

[1]林國夫. 2013年高考導數綜合應用中的“隱零點”[J]. 中學數學雜志，2013(9)：49-52.