體現在概率統計下的數學核心素養

寇桂晏 陳國林

(贛南師范大學科技學院 341000)

數學核心素養的提出，受到了很多人的高度關注，本文主要對有關概率考題方面進行研究歸納，希望能夠給讀者幫助.

一、以生活為背景進行考查

例題1 (2016重慶巴蜀中學月考)2014年12月28日開播，北京市公共電汽車和地鐵按照里程分段計價，具體如下表(不考慮公交卡折扣情況)

乘公共電汽車方案10千米(含)內2元;10千米以上部分,每增加1元可乘坐5千米(含)乘坐地鐵方案(不含機場線)6千米(含)內3元;6千米至12千米(含)4元;12千米至22千米(含)5元;22千米至32千米(含)6元;32千米以上部分,每增加1元可乘坐20千米(含)

已知在北京地鐵四號線上，任意一站到陶然亭站的票價不超過5元，現從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統計圖如圖所示.

(1)如果從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；

(2)已知選出的120人中有6名學生，且這6人乘坐地鐵的票價情形恰好與按票價從這120人中分層抽樣所選的結果相同，現從這6人中隨機選出2人，求這2人的票價和恰好為8元的概率；

(3)小李乘坐地鐵從A地到陶然亭的票價是8元，返程時，小李乘坐某路公共電汽車所花交通費也是8元，假設小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為40千米，試寫出路程s的取值范圍.

( 3 ) 乘公共電汽車方案的里程： 10 千米內(含) 2 元， 10 千米以上部分，每增加 1 元可乘坐 5 千米(含) ; ∴10+5×2

評注本題以實際生活背景為素材進行考查，由統計圖表可以看出，120人中票價為3元、4元、5元的人數分別為60,40,20,因此易得票價小于 5 元的概率；根據比例知 6 名學生中票價為 3 元、4 元、5 元的人數分別為 3,2， 1，可把這6人編號為a,b,c,d,e,f，通過列舉法知其中任取2人有15種情形，2人的票價和恰好為8元的有4種，由概率公式計算可得概率;(3)分別計算乘公共電汽車和地鐵的票價為5元時的里程，其公共分部即為所求．

二、以生產產品為背景進行考查

例題2 (2016山東實驗中學月考)從編號為0，1，2，…，79的80件產品中，采用系統抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號為58的產品在樣本中，則該樣本中產品的最大編號為( ).

A．78 B．76 C．74 D．72

解析由題意得樣本間隔為8，因此最大編號為58+16=74，選C.

評注本題以生產產品為背景考查了系統抽樣，首先應該明確所得樣本之間的間隔為多大，理解系統抽樣是如何進行抽取的，方能對此題進行解決.

三、以當前有關時事為背景進行考查

例題3 2016年10月17日7時30分在中國酒泉衛星發射中心成功發射了神舟載人飛船，意味著我國航天事業進一步得到了提高和發展，為了提高中學生的科普興趣，某校特舉行了科普知識競賽，結合甲、乙兩名學生的6次成績(百分制)制成了如圖所示的莖葉圖：

(1)若從甲、乙兩名學生中選擇1人為該知識競賽的一等獎獲得者，你會選哪位？請運用統計學的知識說明理由；(2)若從學生甲的6次培訓成績中隨機選擇2個，記選到的分數超過87分的個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，則

ξ012P25815115

評注本題主要結合了當下時事考查了莖葉圖、平均數、方差、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識．第1問，通過莖葉圖可以得出甲和乙的平均成績，在平均成績相等的情況下方差越小，發揮越穩定；第2問，先從莖葉圖中讀出6個數，其中超過87分的有2個，先計算出ξ=0,1,2三種情況的概率，列出分布列即可計算數學期望．

四、以數學文化為背景進行考查

(1)求選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率;

(2)設該學生所得學豆總數為X，求X的分布列與數學期望.

解析(1)設甲“第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，“第一關闖關成功且第二關闖關失敗”為事件A1，“前兩關闖關成功且第三關闖關失敗”為事件A2，則事件A1，事件A2為互斥事件.

(2)X所有可能取值為0，5，15，35

所以X的分布列為：

X051535P7163818116

評注本題以國際數學節和我國古代數學家祖沖之的圓周率為背景，這類命題模式較為新穎，應引起注意和思考.通過本題發現考查的內容依舊是我們很熟悉的高中知識點，因此要掌握這種題型必須熟練掌握有關概率統計的基本知識.

參考文獻：

[1]陳國林.文化素養下的概率統計考查[J].高中生之友，2017(4)：28-30.