圖的齊次因子分解

繆應鐵

【摘要】本文主要對圖的因子分解進行研究，得出了一些重要的性質和結論。

【關鍵詞】圖；齊次分解

【中圖分類號】O157.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）33-0265-01

定義1.設Γ=（VΓ，AΓ），若存在弧集Aг的一個分類P={P1，P2，…Pk}，k≥2，

M≤G≤Aut（Γ），使得：

M在Vг上傳遞，且對任意的x∈M都有Pix=Pi，i=1，2，…k；

對任意的Pi∈P，g∈G，都存在某個j∈{1，2，…，k}使得Pix=Pi且G在P上的作用是傳遞的，則稱（г，P）是一個指數為K的（M，G）齊次因子分解。

性質1.1.若（г，P）是一個指數為k的（M，G）齊次因子分解，令K為G作用在P上的核，則M≤K?G，且（г，P）是一個指數為k，（K，G）齊次因子分解。

性質1.2.若（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解，則Val（Γ）=|P|Val（Γi），其中Γi是圖г分解后的任意一個子圖。

性質1.3.若（г，P）是一個指數為k的（M，G）齊次因子分解，則存在Q，R≤H，使得（г，Q）是一個指數為p的（R，H）齊次因子分解，其中p為素數，P|k且H/RZp。

性質1.4.設（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解，若G在Vг是非本原的，則存在Vг的G-不變分類β，且對于任意的B∈β，有（г[B]，PB）是一個指數為k的（MBB，GBB）齊次因子分解，其中PB={（P1）B，（P2）B，…，（Pk）B}，（Pi）B=Pi∩（B×B）=Pi∩（A（Γ[B]））。

性質1.5.對任意的n≥3，則存在指數為n的圖г使得г有齊次因子分解。

性質1.6.設M是任意給定的群，則存在（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解的充要條件三|M|≥3。

證明“”因為|Vг|≥2，且M在Vг上傳遞，所以|Vг||M|，故|M|≥2。

若|M|=2，|Vг|=2，則г=K2，所以M在弧集Aг上的作用是傳遞的。又因為M≤Aut（гi），則所有的弧都在Aut（гi）中，得出矛盾。故|M|≥3。

“”斷言：階數大于等于3的群一定有非平凡的自同構。事實上，如果M是一個非交換群，則Inn（M）M/Z（M）≠1，如果M是一個交換群，則M=〈a1〉×〈a2〉×…×〈as〉，其中（ai）=piri，其中pi是素數。若存在（ai）≥3，則可定義一個映射

φ：aiai-1

ajaj（j≠i）

易證φ是M的自同構，且φ≠1。

若（a1）=（a2）=…=（as）=2，澤s≥2。令

τ：a1→a2

a2→a1

ai→ai（i≠1，2）

則τ∈Aut（M）＼{idM}。所以Aut（M）≠1。故斷言成立。取σAut（M），σ≠1，令N=，記V：=M，則在V上正則。因為=（2），又N，所以有（2）=M≤N≤NSym（M）（）。存在（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解。

性質1.7設г=Kn，且n-1為素數，則г有齊次分解的充要條件是n=2r或者n=3。

性質1.8設（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解，且Val（г）=p，其中p是一個素數，則P=p，Val（гi）=1，гi是г分解后的一個子圖。即（г，P）是一個（M，G）齊次因子分解。此時，гi=或гi=n/2K2。

參考文獻

[1]徐明曜，有限群導論引[M]，北京：科學出版社，1999.

[2]張遠達，有限群構造[M]，北京：科學出版社，1982

[3]王萼芳，有限群論基礎[M]，北京：北京大學出版社，1985.

[4]王福榮，素數階對稱圖的齊次分解，首都師范大學學報自然科學版，2006.