有序推進，追求概念的“精致”建構

陸李華

【摘 要】數學概念是小學數學知識的基礎，也是數學教學最重要的內容。通過對“射線、直線和角的認識”這一概念的教學分析可以看出，數學概念的形成是一個循序漸進、“精致”建構的過程：根植經驗，初步感悟概念是概念“精致”建構的前提；系統整理，形成概念網絡是概念“精致”建構的關鍵；多維思辨，觸摸概念本質是概念“精致”建構的核心；拓展升華，深化概念理解是概念“精致”建構的保證。

【關鍵詞】概念教學；本質；“精致”建構

數學概念是數學的邏輯起點，是構成抽象數學知識的“細胞”，也是學生思維、認知的基礎。認知心理學認為，概念教學必須經歷“精致”的過程，其實質是運用強化感知、提供范例、變式教學、拓展深化等方法對概念的內涵與外延進行深度全面的把握，促使概念的“精致”落到實處。本文結合“射線、直線和角的認識”的教學，來談談如何有序推進概念的“精致”建構。

一、根植經驗，初步感悟概念——概念“精致”建構的前提

概念教學得以充分展開的根本原動力是學生已有認知結構與新概念之間是否平衡。因此，教學中要善于根植與激活學生已有的認知經驗，充分利用新概念與原有認知結構的差異來設置情境，從而引起認知需要，促使其展開積極主動的學習。

【片段1】

師：同學們，你們看，拉緊的線，繃緊的弦，它們都可以看作什么呀？

生：線段。

師：對！線段是我們已經認識的老朋友了，誰來說說它有什么特點？

生：線段是直直的，而且有兩個端點。

師：你能畫一條10厘米長的線段嗎？（學生畫線段）

師：畫線段時，要注意些什么呢？

生：要用直尺畫直。

生：不能漏了端點。

師：這小小的端點有什么作用呀？

生：如果沒有了它，這條線就沒有終點，它會一直延伸出去了。

師：真會想象！還是看這條10厘米長的線段，如果起點用0來表示，終點用10來表示。那么比10大的數，應該在哪邊？

生：都在右邊。

師：我們一起接著數一數。

學生繼續數數，課件動態演示線隨之不斷向右延長的過程。

師：這樣數下去，數得完嗎？

生：數是無窮的，數不完。

師：那相對應的這條線呢？

生：也會一直不斷地延伸下去。

師：對！數是無窮盡的，相對應的線也無限長。

師：同學們，像這樣把線段的一端無限延長，就得到了一條射線。

師：你知道為什么要說“線段的一端”嗎？

生：因為如果右邊端點不動，左邊的端點去掉的話，也會得到一條射線。

師：真會想象！仔細觀察射線，你聯想到生活中的什么嗎？

生：手電筒射出的光線。

生：激光燈射出的光線。

……

師：現在老師遇到了一個難題。我想把這條無限長的射線畫在紙上，該怎么辦？試試看！

生：我畫到了紙的邊上，感覺不好畫了。

師：是啊！畫不下了，怎么辦呢？

生：我覺得根本不用畫到邊上，其實把一端的端點去掉，就說明它沒有封口，可以無限延長了。

師：沒錯，我們是無法把這條射線全部畫出來的，所以只要畫出它的一部分就可以了。

師：剛才我們把線段的一端無限延長就得到了一條射線。想象一下，如果把線段的兩端無限延長呢？

生：那會形成直線！

課件動態演示線段到直線的變化過程。

師：仔細觀察一下直線，你能提個問題考考大家嗎？

生：直線有什么特點？

生：怎樣畫一條直線？

生：直線和線段、射線有什么不同？

在互相提問、互相質疑中明確直線的特征，以及如何畫一條直線。

對于射線概念的理解，“無限長”毋庸置疑是個難點。因為生活中沒有這樣的原型，所以對小學生來說既陌生又抽象。教材安排從探照燈射出的光線引入，但學生容易誤解為光線總會有盡頭，對概念的理解會造成不必要的干擾，使得學生對“無限”的理解只能借助于蒼白的描述和想象。而數形結合的方法就是一個很好的契合點，線段恰恰是學生已有的認知基礎，從復習線段入手，體會線段有限長的特點，由此作為生長點，借助數的無窮盡理解線的無限長，從數學本身去尋找概念理解的支點，可謂水到渠成。在學生感知射線的概念，初步建立了“無限”的觀念之后，再次從線段入手，讓學生想象兩端都無限延長后就形成了直線，并通過互相提問、質疑的方式強化感知，加深對概念的理解。

二、系統整理，形成概念網絡——概念“精致”建構的關鍵

鄭毓信教授曾指出：概念教學中，關鍵是要使學生建立概念的網絡結構。學生掌握的概念并非是一個個零散的概念，而是一個互相聯系的整體。因此，在概念教學中，應及時把新概念納入到學生已有的認知結構中，使之成為一個系統的整體。

【片段2】

線段、直線和射線分別有什么相同點和不同點？大家靜靜地想想看，再在小組里交流發現。

學生活動后，匯報交流，完善表格。

放手讓學生自主進行系統整理，研究射線、直線和線段的相同點和不同點，能幫助學生梳理三線之間的聯系和區別，幫助學生清晰地建立三線的表象，加深對每一個概念的理解，也有利于建立系統的認知網絡。

三、多維思辨，觸摸概念本質——概念“精致”建構的核心

概念教學不是教“形式化的定義”，而是追求思維上真正的理解。因此，教師要善于利用變式教學、對比辨析、反例教學等豐富多樣的活動，采取多種教學策略，引導學生進行觀察、分析、比較、綜合等多維思辨，幫助學生逐漸剝離與舍棄其非本質屬性，抽取其本質屬性，內化對概念的理解。

【片段3】

小試牛刀

◇辨一辨：下面哪些是線段，哪些是射線？直線呢？

◇當回裁判：下面哪位同學說的話是對的？

大展身手

◇點線游戲一

師：線段經過小點嗎？

動態演示“調皮的小點”和線家族成員玩捉迷藏游戲。

生：這條線段兩個端點已經確定，它再也不能捉住小點了。

師：射線上場，它能捉住小點嗎？

生：能！因為射線可以無限延長。

生：不對！這條射線只能往左延長，無論怎么延長都捉不住小點。

生（不好意思）：我只想著能無限延長，忘了看方向了。

師：那怎樣就能捉住小點了呢？

生：把射線的方向換一下，或者讓小點到左邊延長的線上去。（課件相機動態演示）

師：看來只要動動腦筋，射線就能成功捉住小點了。這么說來，直線呢？

生：直線就更不用說了。

生：我也同意！直線無論小點在左邊，還是在右邊，只要延長就能抓住它。

師：都這么認為？

生（齊聲）：同意！

生：我不同意！如果小點不在這條直線的延伸處，那無論直線怎么延長，也抓不到它！

師：你在電腦上操作一下，把你的想法表示出來。

生操作演示如下：

生（恍然大悟）：哦，原來這樣！

師：敢于突破常規思路來思考問題，很了不起！

師：調皮的小點還想和線家族的成員玩游戲呢！

◇點線游戲二

師： 經過一個點能畫多少條直線呢？如果給你足夠多的時間，能畫多少條？

生：無數條。

師：同時經過兩點能畫多少條直線呢？（先猜想，再動手進行驗證）

師：現在來了兩個“調皮的小點”，連接這兩點已經有兩條線。你還能創造出一條比它們都短的線嗎？怎樣最短？

生：找出連接兩點的線段。

師：像這樣連接兩點的線段的長度，叫作這兩點間的距離。動手量一量，這段距離到底有多長呢？

◇點線組合

師：同學們，剛才我們一直在研究點線關系，其實它們組合在一起，還能形成一些新圖形呢。（學生自主學習角的相關知識）

概念的鞏固與運用環節，設計了多形式、多層次的練習：“辨一辨”“當回裁判”兩個練習，利用變式和反例來凸顯概念的本質屬性；“點線游戲一”讓學生在有趣的情境中進一步感知三線特征的區別，強化概念認知；“點線游戲二”讓學生通過畫一畫、數一數等多樣化的活動，獲得進一步的感知和體驗，同時有機滲透極限思想和猜想與驗證的數學方法；而對于角，學生已有了初步的認識。因此“點線組合”放手讓學生自學角的有關知識，感受線與角的聯系。

四、拓展升華，深化概念理解——概念“精致”建構的保證

概念得以理解后，還要依據本課的教學內容和目標，進行合理的挖掘和延伸，使概念得到鞏固、拓展、深化。比如介紹與概念相關的數學文化，綜合運用概念解決數學問題等，目的是在深入理解概念的同時，使概念在深度和廣度上得以“精致”建構，培養學生的探究意識和創新思維。

◇猜一猜：被信封擋住的是什么圖形？

生：線段。

生：也有可能是射線。

信封移開，呈現射線。

師：現在呢？

生：直線！

師：確實是一條直線。不過這條直線上還有兩個小點。

師：那你還能從上面找到哪些線呢？分別有幾條？小組討論。

生：我們小組找到了1條線段，2條射線，還有1條直線。

生：我們小組找到了4條射線。

師：哦？上來指給大家看看！（課件相機動態演示）

師：剛才我們從直線上找到了線段和射線，看來線段和射線都是直線的一部分。

師：再來猜，這個信封背后會是什么呢？

生：線段。

生：射線。

師：還有可能是什么呢？

生：還有可能是角。

信封移開，呈現角。猜對的學生歡呼不已。

◇填一填，讀一讀。

時間的長流就像一條無始無終的（ ），是無限的；而我們每個人的生命就像有始有終的（ ）一樣，是有限的。所以我們要充分利用好生命的每一天，學習時要像只有起點沒有終點的（ ）一樣，學無止境！

“猜一猜”的游戲，根據部分圖形來猜想可能具有哪些特征，反向思維的運用，加深了學生對于概念本質的感悟，發展空間觀念，提升思維力；“填一填”的教學活動，耐人尋味，啟發學生感悟到生命的有限，知識的無限，激發學生樂于學習、主動學習的積極性。

總之，建構概念的核心是理解，用怎樣的教學方式提高學生的概念理解水平是需要教師不斷研究的永恒主題。教師應高屋建瓴地深入理解概念，準確把握學生的學情，精心設計“引入—形成—鞏固—深化” 學習路徑中的每一個環節，有序推進，幫助學生“精致”建構數學概念，發展數學核心素養。

（江蘇省海門實驗學校附屬小學 226100）