Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標的計算公式

任勝章, 申 鵬, 鄧方安, 李 坤, 霍小莉

(1. 陜西理工大學 數學與計算機科學學院, 陜西 漢中 723000; 2. 蘭州大學 數學與統(tǒng)計科學學院, 甘肅 蘭州 730000)

設圖G(V,E)是簡單的連通無向圖，并且V(G)和E(G)分別是它的頂點集和邊集.對圖G的任意2條邊e1和e2，如果他們不相鄰，則稱他們是相互獨立的.一個邊集E(G)的子集M，如果他的任意2條邊都相互獨立，則稱他是圖G的一個匹配集.用m(G)表示圖G的匹配集的個數，在化學中m(G)也被稱為Hosoya指標，此指標與化學分子的許多物理和化學性質密切相關，如：分子的熔點、沸點等.圖族多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖是將相鄰苯環(huán)被P2路點粘接得到的n個苯環(huán)系統(tǒng)的圖.稱苯環(huán)與P2路粘接的條數為苯環(huán)的環(huán)度.只有一個環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖；沒有環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為多肽聚苯鏈.在三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖中除去環(huán)度為1和3的苯環(huán)之外，如果苯環(huán)被2條P2路粘接的頂點將苯環(huán)分割后的頂點集的階為0和4，稱該類三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖為Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖(參見圖1)，并用Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，其中k1、k2、k3分別為3個叉上苯環(huán)的個數(n=k1+k2+k3+1,n≥4,k1≥1,k2≥1,k3≥1).本文通過對Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖的Hosoya指標進行研究，給出了該類圖族的Hosoya指標計算公式，并且刻畫出該類圖族Hosoya指標取得最值圖．在本文中沒有給出的術語，記號可參見文獻[1].

圖 1 Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖Z(k1,k2,k3)

1 基本引理

引理1.1[2]設圖G1和G2是圖G的2個分支且G=G1∪G2，則m(G)=m(G1)m(G2).

引理1.2[2]設圖G是簡單圖且任意的uv∈E(G)，則m(G)=m(G-uv)+m(G-u-v).

引理1.3[3]設和并且F(n)和L(n)分別是Fibonacci數列和Lucas數，則：

3) F(m)L(n)=F(n+m)-(-1)mF(n-m)=F(m+n)+(-1)nF(m-n).

引理1.4[4] 設q1,q2,…,qt是遞推關系式

H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+
…+akH(n-k)

的特征方程的所有互不相等的特征根，并且它們的重數依次為e1,e2,…,et，則遞推關系對應于qi部分的解為

Hi(n)=(c1+c2n+…+ceinei-1)qni,

而遞推關系式的一般解為

H(n)=H1(n)+H2(n)+…+Ht(n).

引理1.5[4]H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+…+akH(n-k)+τ2是非齊次遞歸關系式,其中a1,a2,…,ak,τ為常數.如果f(n)是其對應的齊次遞歸關系式H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+…+akH(n-k)的通解，那么H(n)=d1f(n)+d2τn是非齊次遞歸關系式的通解，其中d1、d2是常數.

2 主要結論

沒有環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為多肽聚苯鏈.設z(n)是苯環(huán)數為n(n≥3)的Z型多肽聚苯鏈(參見文獻[5])，g(n)、w(n)、t(n)分別由Z型多肽聚苯鏈z(n)刪除最后一個苯環(huán)的若干頂點得到的圖(參見圖2、3),則下面2個引理成立.

圖 2 z(n),t(n)

圖3 g(n),w(n).

引理2.1[5]設z(n)是苯環(huán)數為n(n≥3)的Z型多肽聚苯鏈,則

引理2.2設g(n)、w(n)、t(n)是苯環(huán)數為n(n≥3)的多肽聚苯鏈,則：

1) m(g(n))=8m(z(n-1))+5m(g(n-1));

2) m(w(n))=3m(z(n-1))+m(g(n-1));

3) m(t(n))=8m(z(n-1))+3m(g(n-1)).

證明由引理1.1和1.2容易證定理結論成立.

定理2.1設g(n)、w(n)、t(n)是苯環(huán)數為n(n≥3)的多肽聚苯鏈,則：

證明結論2)和3)由引理2.1、2.2和定理2.1的1)的結論很容易證明.在這里只給出結論1)的證明，由引理1.1和1.2得到

(1)

由引理2.1，將

,

代入(1)式得到

.

(2)

根據引理1.4可知，常系數齊次遞推關系

m(g(n))-5m(g(n-1))=0

的解為5n，那么常系數非齊次遞推關系式(2)的解可設為

m(g(n))=c5n+aλn-31+bλn-32.

(3)

將(3)式代入遞推關系式(2),解得

(4)

將初始值m(g(4))=87 768，代入上式解得c=0.因此定理2.1的1)的結論成立.

定理2.2設Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Ζ型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖，則有

m(Z(k1,k2,k3))=
m(z(k2+1))m(z(k1))m(z(k3))+
m(t(k2+1))m(g(k1))m(z(k3))+
m(t(k2+1))m(z(k1))m(g(k3))+
m(w(k2+1))m(g(k1))m(g(k3)).

證明由引理1.1、1.2容易證定理結論成立.

定理2.3設Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖，則有

m(Z(k1,k2,k3))=λk1+k2+k3-71×
+

λk1+k2+k3-72+

(λk1+k2-51λk3-22+λk1+k3-51λk2-22+λk2+k3-51λk1-22)+

(λk1+k2-52λk3-21+λk1+k3-52λk2-21+λk2+k3-52λk1-21).

證明令將定理2.1和引理2.1的公式代入定理2.2得到

m(Z(k1,k2,k3))=(a1λk2-11+a2λk2-12)×
(a1λk1-21+a2λk1-22)(a1λk3-21+a2λk3-22)+
(d1λk2-21+d2λk2-22)(b1λk1-31+b2λk1-32)×
(a1λk3-21+a2λk3-22)+(d1λk2-21+d2λk2-22)×
(a1λk1-21+a2λk1-22)(b1λk3-31+b2λk3-32)+
(c1λk2-21+c2λk2-22)(b1λk1-31+b2λk1-32)×
(b1λk3-31+b2λk3-32)=
(a31λ21+2a1b1d1+b21c1λ-11)λk1+k2+k3-71+
(a32λ22+2a2b2d2+b22c2λ-12)λk1+k2+k3-72+
(a21a2λ21+a2b1d1+a1b2d1λ1λ-12+
b1b2c1λ-12)λk1+k2-51λk3-22+(a1a22λ22+a1b2d2+
a2b1d2λ-11λ2+b1b2c2λ-11)λk1+k2-52λk3-21+
(a21a2λ1λ2+2a1b1d2+b21c2λ-11)
λk1+k3-51λk2-22+(a1a22λ1λ2+2a2b2d1+
b22c1λ-12)λk1+k3-52λk2-21+(a21a2λ21+a1b2d1λ1λ-12+
a2b1d1+b1b2c1λ-12)λk2+k3-51λk1-22+(a1a22λ22+
a2b1d2λ-11λ2+a1b2d2+b1b2c2λ-11)λk2+k3-52λk1-21.

將a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2的值代入上面等式，并化簡得到

m(Z(k1,k2,k3))=λk1+k2+k3-71×

λ
(λk1+k2-51λk3-22+λk1+k3-51λk2-22+λk2+k3-51λk1-22)+

(λk1+k2-52λk3-21+λk1+k3-52λk2-21+λk2+k3-52λk1-21).

因此定理2.3的結論成立.

推論2.1設Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，則

推論2.2設Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，則

m(Z(k1,k2,k3))≤m(Z(1,1,n-3)).

3 結束語

在本文中，應用特殊非齊次常系數遞推關系式的性質計算出多肽聚苯鏈w(n)、t(n)的Hosoya指標計算公式，以定理2.1的形式給出.利用以上結果，給出了Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標的計算公式,以定理2.2和定理2.3的不同形式給出.并刻畫出Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標取得最小值和最大值時的圖，以推論2.1和推論2.2的形式給出.

致謝陜西理工大學科研基金(SLGQD14-14和SLGKY15-37)對本文給予了資助，謹致謝意.

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