三次B-樣條配點法定價歐式看跌期權

吳蓓蓓

(1. 同濟大學 數學科學學院， 上海 200092； 2. 上海電力學院 數理學院， 上海 200090)

期權，又稱選擇權，它賦予其持有者在一個特定的時間或之前以預先指定的價格買入或賣出標的資產的權利.期權價格是期權合約中唯一隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題.

對Black-Scholes模型[1]及其推廣形式進行期權定價時，很難找到解析解.雖然歐式期權的解析解存在，但是復雜的定價表達式往往給計算帶來許多困難，因此人們更愿意采用高效的數值方法研究期權定價問題.常用的數值方法主要有：格點法、二叉樹法、Monte Carlo方法、有限差分法、有限體積法等[2-9].

B-樣條的概念最初是由Schoenberg[10]于20世紀40年代中期提出來的，如今已得到很大的發展.B-樣條具有幾何不變性、凸包性、保凸性、變差減小性、局部支撐性等許多優良性質.B-樣條配點法構造簡單，數值精度高，易處理復雜的邊界問題，目前已成為求解偏微分方程的重要數值方法之一.

近年來，B-樣條配點法也被眾多學者應用于期權定價問題的計算中，并受到了廣泛的關注和研究[11-15].本文重點研究Black-Scholes模型下歐式看跌期權定價的數值解.將三次B-樣條的基函數重新定義，對Black-Scholes方程空間離散采用改進的三次B-樣條配點法，時間離散采用向前有限差分，并引入參數θ，建立混合差分格式.利用穩定性分析的Von Neumann條件，證明了該格式當1/2≤θ≤1時是無條件穩定的.數值實驗表明，本文改進的三次B-樣條配點法對求解歐式看跌期權定價問題是有效的，提高了逼近精度，減少了CPU時間，且其Crank-Nicolson格式的數值結果要優于隱式歐拉格式.

1 歐式看跌期權模型

考慮定義在區域Σ:{0≤S<,0≤t≤T}上的Black-Scholes方程：

(1)

終止條件為

f(S,T)=max(E-S,0),

(2)

其中,f(S,t)是歐式看跌期權價格，它隨著原生資產價格S和時間t的變化而變化,σ和r分別為波動率和無風險利率(均假定為常數),T為到期日，E為執行價格.

為了利用數值方法求解，把問題限制在一個有限區域

[Smin,Smax]×[0,T]，

其中Smin和Smax為適當選取的非負數.

補充邊界條件：

f(Smin,t)=α(t),f(Smax,t)=β(t),
t∈[0,T].

(3)

作變換S=ex，即x=lnS，則上述問題可轉化為求下列定解問題

(4)

它的邊界條件為

u(xmin,t)=α(t),u(xmax,t)=β(t),

(5)

其中,u(x,t)=f(S,t)，(x,t)∈[xmin,xmax]×[0,T]，

xmin=lnSmin，xmax=lnSmax.

2 B-樣條配點法

以空間步長h和時間步長τ將求解區域

[xmin,xmax]×[0,T]

劃分為均勻網格，網格點為(xj,tk),其中,

利用三次B-樣條基函數配點法可將方程(4)的逼近解表示成

(6)

其中,cj(t)是與時間t相關的未知量，Bj(x)是三次B-樣條基函數[16]，定義為

(7)

表 1 函數Bj(x)及其導數在節點處的值

記(xj,t)處的逼近解為Uj=U(xj,t)，根據表1，逼近解Uj及其關于x的一階和兩階導數分別為

Uj=cj-1+4cj+cj+1,

(8)

U(x0,t)=c-1+4c0+c1=α(t),

U(xN,t)=cN-1+4cN+cN+1=β(t).

(9)

從逼近(6)和(9)式中消除c-1和cN+1，重新定義B-樣條的基函數，將逼近解寫成下列形式

(10)

其中

(11)

且

(12)

在點(xj,tk)處取關于時間變量的一階向前差商，并引入參數θ(0≤θ≤1)，(4)式中的偏微分方程可以離散化為

(13)

當θ=0時，(13)式為差分顯式格式；當θ=1/2時，(13)式為Crank-Nicolson格式；當θ=1時，(13)式為隱式歐拉格式.

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將逼近解(6)式代入(13)式中，并利用(11)、(12)式及表1，可得下面矩陣形式

PCk=QCk+1+b,

(14)

其中，

且

這里P和Q是(N+1)×(N+1)階三對角矩陣，b是(N+1)階列向量，由邊界條件確定.

(i)Ux(xj,T)=g′(xj),j=0；

(ii)U(xj,T)=g(xj),j=0,1,…,N；

(iii)Ux(xj,T)=g′(xj),j=N.

對應的矩陣形式為

ACM=f,

(15)

其中，

3 穩定性分析

由(14)式，可以得到下列差分方程

(16)

現在采用Fourier分析方法來研究其穩定性所需要滿足的條件.

令

(17)

將(17)式代入到(16)式中，化簡后，可得增長因子為

(18)

其中,

(19)

根據Von Neumann 條件，要保證(16)式穩定，需滿足條件|G(θ)|≤1，即

(20)

其中,

易驗證G(θ)在θ=0處取到極大值.在(20)式中令θ=0，于是有

(21)

從而解得

(22)

由此可知，當滿足(22)式時，格式(16)是穩定的.這表明，當1/2≤θ≤1時，差分格式(16)是無條件穩定的.

4 數值實驗

下面用數值實驗來驗證有效性.

考慮不支付紅利的4月期標的資產為股票的歐式看跌期權，假設敲定價格為12美元，無風險利率為每年5%，波動率為每年25%，用符號記為

T=0.3,E=12,r=0.05,σ=0.25,

且計算區域為[1,21]×[0,0.3]，相應的邊界條件為α(t)=Ee-r(T-t)-S,β(t)=0.

數值實驗中相對誤差的計算公式為

圖1顯示了當網格剖分為(M,N)=(200,200)時，采用本文三次B-樣條配點法 (θ=1/2) 計算該歐式看跌期權所得的(a)期權價格曲面和當t=0時刻的(b)相對誤差.從圖中不難看出，數值結果是穩定的.

當網格剖分為(M,N)= (120,120)時，選取不同的θ值，對應的相對誤差也不同，如圖2所示.相對誤差走勢基本相同，而隨著時間t減少，三次B-樣條配點法的Crank-Nicolson格式(θ=0.5)的整體誤差最小.

(b) 相對誤差

圖 2 不同θ值的相對誤差比較

將本文Crank-Nicolson格式與文獻[12]中差分格式的相對誤差和CPU時間作比較，如表2所示.本文的數值方法比文獻[12]的三次B-樣條配點法略提高了精度，且有效地減少了CPU時間.

表 2 相對誤差和CPU時間比較

5 結束語

本文利用重新定義基函數的三次B-樣條配點法定價Black-Scholes模型下的歐式看跌期權.數值實驗表明，該方法逼近精度高，求解快捷、簡便.此外，其Crank-Nicolson格式的逼近效果要好于隱式歐拉格式.文中所構造的數值方法在期權定價中是有效的.

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