粘性Cahn-Hilliard方程的半線性Crank-Nicolson格式

李 娟

(南京審計大學 金審學院 基礎部, 江蘇 南京 210023)

ut-αuxxt+βuxxxx-(u3-u)xx=0,
x∈Ω, t>0,

(1)

邊界條件

u(x,t)=uxx(x,t)=0,
x∈?Ω, t>0,

(2)

初值條件

u(x,0)=u0(x), x∈Ω,

(3)

其中,Ω為有界區間,α≥0,β>0,u表示兩相流的濃度,u3-u是內部固有化學勢,β為界面能量參數,α表示粘性系數.當α=0時,方程(1)為標準Cahn-Hilliard方程.本文考慮α>0的情形.

在研究玻璃和聚合物兩相分離的連續模型中,將分子間的摩擦力考慮進來，提出了粘性Cahn-Hilliard方程.作為重要且應用更廣泛的相場模型方程,學者已對其有了廣泛的研究.文獻[1]指出文獻[2]忽略了反映粘性影響的項αuxxt,提出了粘性Cahn-Hilliard方程;文獻[3]指出粘性Cahn-Hilliard可被看做相變的奇異極限;文獻[4]研究了該方程的亞穩內部層動態;文獻[5]對1、2、3維粘性Cahn-Hilliard方程進行了理論分析;文獻[6]建立了該方程穩態解的Morse分解和全局吸引子的結構;文獻[7]討論了帶有時間周期勢的粘性Cahn-Hilliard方程的解的存在性、唯一性和漸進性;文獻[8]給出了基于邊界條件的最優控制，并證明了方程最優控制解的存在性;文獻[9]研究了方程中通道對小參數的限制;文獻[10]研究了帶有動態邊界條件和雙障礙源的粘性Cahn-Hilliard方程的最優控制問題;文獻[11]研究了非標準的粘性Cahn-Hilliard方程系統解的適定性和長時間行為;文獻[12-13]討論了黏性Cahn-Hilliard方程弱解的存在性.

2 差分格式的建立

下面對問題(1)～(3)建立差分格式.令v=u2ux,則方程(1)等價于

ut-αuxxt+βuxxxx+uxx-3vx=0,
x∈[0,L], t>0,

(4)

v=u2ux, x∈[0,L], t>0.

(5)

(6)

(7)

(8)

其中

為截斷誤差.將(7)和(8)式分別代入(6)式可得

(9)

(10)

其中

假定問題(1)～(3)的解是適當光滑的,則存在正常數c0,使得

(11)

由邊界條件和初值條件可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

在上面差分格式中,可利用(14)式求得第一、二時間層的數值解.由于其為非線性方程組,故需迭代求解.當un、un-1、un-2(n≥2)為已知時,(15)式為關于un+1的線性方程組,可通過解線性方程組求得其余時間層的數值解.

3 差分格式解的先驗估計

下面將給出差分格式解的先驗估計式.設Vh={u=(u0,u1,…,uM),u0=uM=0}.對任意的u,v∈Vh,引入如下內積和范數:

為便于先驗估計式的推導,引入如下引理.

引理3.1[20]對任意的u,v∈Vh,存在

(u,δxv)=-(δxu,v), (u,xv)=-(xu,v),
‖xu‖≤‖δxu‖.

引理3.2[21]對任意的v∈Vh和p≥2,存在

‖v‖p≤μ(‖v‖1-γ‖δxv‖γ+‖v‖),

下面,對于差分格式的數值解un,給出‖un‖,‖δxun‖的先驗估計式,進一步得出‖un‖∞的有界性.

(18)

利用引理3.1可得

(19)

由內積定義知

(20)

由引理3.1和柯西不等式可得

(21)

將(20)和(21)式代入(19)式可得

(22)

記

Fn=‖un‖2+α‖δxun‖2.

由(22)式可得

(23)

(24)

(25)

從而有

(26)

(27)

結合(24)和(27)式可知,對于0≤n≤N-1,(27)式均成立.

由離散的Gronwall不等式可得

從而有

(28)

(29)

根據上面定理,易證差分格式的解是有界的.在引理3.2中,取p=∞有

(30)

由定理3.1中的估計式(28)～(30)可得,存在不依賴于h、τ的正常數B,使得

‖un‖∞≤B, 0≤n≤N,

(31)

即差分格式的解是有界的.

4 差分格式的收斂性

(32)

(33)

(34)

(35)

定理4.1假設問題(1)～(3)的解適當光滑.差分格式(14)～(17)式的解收斂于問題的精確解,收斂階為時間、空間方向二階收斂,即存在正常數c,使得

‖en‖∞≤c(τ2+h2), 0≤n≤N.

(36)

證明采用數學歸納法證明定理成立.由(35)式知,當n=0時,(36)式成立.

I) 當n=1,2時,‖en‖∞≤c(τ2+h2)成立.

(37)

由引理3.1可得

(38)

下面估計(38)式右端的第二項和第三項.對于第二項有

(39)

從而有

(40)

對于第三項有

(41)

將(40)和(41)式代入(38)式,可得

(42)

由引理3.1和柯西不等式可得

將上式代入(42)式可得

(43)

令En=‖en‖2+α‖δxen‖2.由(43)式可得

其中

從而有

(44)

由(44)式可得

從而有

(45)

(46)

由引理3.2可得

即當n=1,2時,(36)式成立.

(II) 假設定理結論對0≤n≤m均成立,證明‖em+1‖≤c(τ2+h2)成立.

(47)

從而有

(48)

下面估計上式右端的第二、三項.對于第二項有

及

成立,從而有

(49)

對于第三項有

(50)

將(49)和(50)式代入(48)式可得

(51)

注意到

并將其代入到(51)式可得

(52)

其中

在(52)式中,用l代替n,并對l從2到n求和可得

從而有

(53)

(54)

其中

令

由(53)式可得

由離散的Gronwall不等式可得

En+1≤c4exp(c5T)(τ2+h2)2, 2≤n≤m,

從而有

應用引理3.2可得

即當n=m+1時,(36)式成立.由數學歸納法,定理結論成立.

5 數值算例

1) 驗證差分格式的精度.由于無法計算該問題的精確解,為驗證數值收斂階,定義如下最大模誤差

對于充分小的空間步長h,定義時間收斂階

對于充分小的時間步長τ,定義空間收斂階

表 1 差分格式(14)～(17)的最大模誤差和時間收斂階

表 2 差分格式(14)～(17)的最大模誤差和空間收斂階

6 小結

圖 1 當β=0.5,α=0.5,0.05,0.005,0時,(1)～(3)式的數值解曲面

[1] NOVICK-COHEN A. On the viscous Cahn-Hilliard equation[C]//Material Instabilities in Continuum and Related Mathematical Problems. Oxford:Oxford Univ Press,1988.

[2] CAHN J W, HILLIARD J E. Free energy of a non-uniform system I. interface free energy[J]. J Chem Phys,1958,28(2):258-267.

[3] BAI F, ELLIOTT C M, GARDINER A, et al. The viscous Cahn-Hilliard equation. part I:computations[J]. Nonlinearity,1995,8(2):131-160.

[4] REYNA L G, WARD M J. Metastable internal layer dynamics for the viscous Cahn-Hilliard equation[J]. Methods Appl Anal,1995,2(3):285-306.

[5] ELLIOTT C M. Viscous Cahn-Hilliard equation II. analysis[J]. J Diff Eqns,1996,128(2):387-414.

[6] GRINFELD M, NOVICK-COHEN A. The viscous Cahn-Hilliard equation:morse decomposition and structure of the global attractor[J]. Trans Am Math Soc,1999,351(6):2375-2406.

[7] LI Y, YIN J. The viscous Cahn-Hilliard equation with periodic potentials and sources[J]. J Fixed Point Theory Appl,2011,9(1):63-84.

[8] ZHAO X, LIU C. Optimal control problem for viscous Cahn-Hilliard equation[J]. Nonlinear Analysis,2011,74(17):6348-6357.

[9] THANH B L T, SMARRAZZO F, TESEI A. Passage to the limit over small parameters in the viscous Cahn-Hilliard equation[J]. J Math Anal Appl,2014,420(2):1265-1300.

[10] COLLI P, FARSHBAF-SHAKERM H, GILARDI G, et al. Optimal boundary control of a viscous Cahn-Hilliard system with dynamic boundary condition and double obstacle potentials[J]. SIAM J Control Optim,2015,53(4):2696-2721.

[11] COLLI P, GILARDI G, PODIO-GUIDUGLI P, et al. Well-posedness and long-time behavior for a nonstandard viscous Cahn-Hilliard system[J]. SIAM J Appl Math,2011,71:1849-1870.

[12] 喻朝陽. 黏性Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2012,35(2):227-230.

[13] 姜金平,董超雨. 粘性Cahn-Hilliard方程在H1中的弱解存在性[J]. 貴州大學學報(自然科學版),2015,32(6):1-3.

[14] MOHYUD-DIN S T, YLDRM A, SARAYDN S. Approximate series solutions of the viscous Cahn-Hilliard equation via the homotopy perturbation method[J]. World Appl Sci,2010,11:813-818.

[15] CHOO S M, CHUNG S K, LEE Y J. A conservative difference scheme for the viscous Cahn-Hilliard equation with a nonconstant gradient energy coefficient[J]. Appl Numer Math,2004,51(2):207-219.

[16] CHOO S M, KIM Y H. Finite element scheme for the viscous Cahn-Hilliard equation with a nonconstant gradient energy coefficient[J]. Appl Math Comput,2005,19(1):385-395.

[17] MOMANI S, ERTURK V S. A numerical scheme for the solution of viscous Cahn-Hilliard equation[J]. Numer Methods Partial Diff Eqns,2008,24(2):663-669.

[18] SHIN J, CHOI Y, KIM J. An unconditional stable numerical method for the viscous Cahn-Hilliard equation[J]. Discrete Contin Dyn Sys,2014,B19(6):1737-1747.

[19] CHOO S M, CHUNG S K. A conservative nonlinear difference scheme for the viscous Cahn-Hilliard equation[J]. Appl Math Comput,2004,16(1):53-68.

[20] 孫志忠. 偏微分方程數值解法[M]. 2版. 北京:科學出版社,2012.

[21] ZHOU Y. Applications of Discrete Functional Analysis of Finite Difference Method[M]. New York:International Academic Publishers,1990.

[22] LI J, SUN Z Z, ZHAO X. A three level linearized compact difference scheme for the Cahn-Hilliard equation[J]. Sci China Math,2012,55(4):805-826.

[23] 李娟,高廣花. 求解Fisher-Kolomogorov方程的三層線性化緊差分格式[J]. 西南民族大學學報(自然科學版),2015,41(5):634-639.

[24] 李娟,高廣花. 二維擴展Fisher-Kolmogorov方程的線性化緊差分格式的最大模誤差分析[J]. 西南師范大學學報(自然科學版),2017,42(3):12-21.