相對于Ding投射和Ding內射模的Tate-Vogel上同調

郝永興, 楊曉燕

(西北師范大學 數學與統計學院， 甘肅 蘭州 730070)

1 預備知識

定義1.1[11]設D是Abel范疇,A、B是D中對象作成的類.

1) 稱對子(A,B)為余撓對,如果A=⊥1B,B=A⊥1,其中,

2) 稱余撓對(A,B)是完全的,如果對任意的C∈D存在D中的正合序列

0→B→A→C→0

和0→C→B′→A′→0,其中A,A′∈A和B,B′∈B.

定義1.2[10]1) 稱R-模的一個序列

2) 設X和Y是R-復形.度為n的同態φ:X→Y是一族R-模同態(φi)i∈Z,其中φi:Xi→Yi+n.記|φ|=n.定義HomR(X,Y)為Z-模復形,其第n個層次為

其微分?定義為?(φ)=:?Yφ-(-1)|φ|φ?X.

3) 稱一個鏈映射φ:X→Y是擬同構,如果對所有的整數n,映射

Hn(φ):Hn(X)→Hn(Y)

是同構.記作X?Y.

4) 稱復形X是同調上(下)有界的,如果

supX<∞(infX>-∞),

其中

supX=sup{i∈Z|Hi(X)≠0},
infX=inf{i∈Z|Hi(X)≠0}.

定義1.3[6]設(A,B)是R-模范疇中的余撓對,X是R-復形.

1) 稱X是A復形,如果X是正合的且對任意的整數n有Zn(X)∈A.

2) 稱X是B復形,如果X是正合的且對任意的整數n有Zn(X)∈B.

3) 稱X是dg-A復形,如果對任意的整數n有Xn∈A且當B是B復形時HomR(X,B)正合.

4) 稱X是dg-B復形,如果對任意的整數n有Xn∈B且當A是A復形時HomR(A,X)正合.

定義1.4[9]設(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復形.

1) 定義M的A維數為:

2) 定義N的B維數為:

注1.5若M是一個R-模,則

A-dimM=A-pd(M)

和B-dimM=B-id(M),其中

A-pd(M)=inf{n|存在正合列
0→Xn→…→X1→X0→M→0,Xi∈A},
B-id(M)=inf{n|存在正合列
0→M→X0→X1→…→Xn→0,Xi∈B}.

定義1.6[10]設M是Abel范疇D中的對象.稱態射φ:M→X是M的H-預包絡,如果對任意的態射f:M→X′,存在一個態射g:X→X′使得gφ=f,其中X,X′∈H.稱單態射φ:M→B是M的特殊的H-預包絡,如果它是M的H-預包絡且coker(φ)∈⊥1H,其中B∈H.

對偶地,有H-預覆蓋和特殊的H-預覆蓋的定義.

2 相對于Ding投射和Ding內射模的Tate-Vogel上同調

定義2.1[10]1) 設A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對且M是復形.

(a) 定義M的(A,B)-分解為復形的態射圖

(b) 定義M的(B,A)-分解為復形的態射圖

2) 設A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復形.

(a) 由(A,B)-分解,定義如下復形:

其中

(b) 由(B,A)-分解,定義如下復形:

HomR(RQM,RQN)/HomR(RQM,RQN),

其中

HomR(RQM,RQN)n=
{(φi)∈HomR(RQM,RQN)n|φi=0,?i?0}.

3) 設A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復形.

(a) 由(A,B)-分解,定義第n次Tate-Vogel上同調群為:

其中R(QRM,QRN)是定義2.1中的2) (a)定義的復形.

(b) 由(B,A)-分解,定義第n次Tate-Vogel上同調群為:

定義2.2[12]1) 稱R-模M為Ding-投射模,如果存在投射R-模的正合序列

使得M?im(P0→P0)且HomR(X,Q)是正合的,其中Q是平坦R-模.用DP表示Ding-投射模類.

2) 稱R-模M為Ding-內射模,如果存在內射R-模的正合序列

使得M?im(I0→I0)且HomR(E,Y)是正合的,其中E是FP-內射R-模.用DI表示Ding-內射模類.

對任意的R-模M,pdM(fdM,DpdM)代表模M的投射(平坦,Ding-投射)維數,idM(FP-idM,DidM)代表模M的內射(FP-內射,Ding-內射)維數.

引理2.3設M是一個R-模.若idM<∞,則fdM≤DpdM.

證明設M是一個R-模,idM<∞.由文獻[13]的定理3.1知pdM≤DpdM,而fdM≤pdM,因此,fdM≤DpdM.

引理2.4設M是一個R-模.若pdM<∞,則FP-idM≤DidM.

證明設M是一個R-模,pdM<∞.由文獻[13]的定理3.3知idM≤DidM,而

FP-idM≤idM,

因此,FP-idM≤DidM.

稱環R是n-FC環,如果它是雙邊凝聚環且

FP-idRR=FP-idRR=n.

稱環R是Ding-Chen環,如果存在n≥0使得它是n-FC環.

引理2.5設R是雙邊凝聚環.則以下條件等價：

1)R是n-FC環;

2) 每一個左(或右)R-模的內射分解的第n次上合沖是Ding-內射的;

3) 每一個左(或右)R-模的投射分解的第n次合沖是Ding-投射的.

證明1)?2) 設M是左R-模且D是M的內射分解的第n次上合沖.則

其中W∈⊥1DI.因為R是n-FC環,所以由文獻[12]知(⊥1DI,DI)是完全的余撓對.從而D∈DI.

2)?1) 設E是FP-內射左R-模,N是左R-模且D是N的內射分解的第n次上合沖.則

1)?3) 由1)?2)對偶可得.

3)?1) 由2)?1)對偶可得.

設R是左凝聚環.由文獻[14]知,(DP,DP⊥1)和(⊥1DI,DI)是完全遺傳的余撓對.設M是R-模.由注1.5知

DP-dimM=DP-pd(M)=DpdM,
DI-dimM=DI-id(M)=DidM.

注意到R+=HomZ(R,Q/Z)和Mod(R)代表R-模范疇.

定理2.6設R是雙邊凝聚環,DP=(DP,DP⊥1),則以下條件等價:

1)R是Ding-Chen環;

3) 對所有的整數i和任意的復形Y,

DI=(⊥1DI,DI).

證明1)?2) 設M是同調上有界復形且滿足supM=k,其中k為整數.取dg-投射復形P使得M?P,則有R-模的正合序列

其中對任意的i≥k,Pi是投射模.由引理2.5知,存在一個整數n>k使得Cn(P)是Ding-投射模.故由文獻[9]的定理3.3知DP-dimM<∞.由文獻[10]的定理1.1(1)知2)成立.

2)?3) 由文獻[10]的定理1.1(1)易得.

3)?4) 顯然成立.

4)?1) 由文獻[10]的定理1.1(1)知DpdR+<∞.因為R+是內射模,由引理2.3知

fdR+≤DpdR+<∞,

所以FP-idR=fdR+<∞.

1)?5) 設N是R-模,I是dg-內射復形且N?I.則有R-模的正合序列

sup{DidN|N∈Mod(R)}<∞.

定理2.7設R是雙邊凝聚環,

DI=(⊥1DI,DI).

則以下條件等價:

1)R是Ding-Chen環;

3) 對所有的整數i和任意的復形X,

證明1)?2) 設N是同調下有界復形且滿足infN=k,其中k為整數.取dg-內射復形I使得N?I.則有R-模的正合序列

其中對任意的i≤k,Ii是內射模.由引理2.5知,存在一個整數n

2)?3) 由文獻[10]的定理1.1(2)易得.

3)?4) 顯然成立.

4)?1) 由文獻[10]的定理1.1(2)知DidR<∞.因為R是投射模,由引理2.4知

FP-idR≤DidR<∞.

1)?5) 設M是R-模,P是dg-投射復形且滿足M?P,則有R-模的正合序列

sup{DpdM|M∈Mod(R)}<∞.

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