基于多目標遺傳算法的Σ-Δ MEMS加速度計優化設計*

王夢醒， 劉 丹， 熊興崟， 李宗偉， 韓可都

(1.中國科學院 地質與地球物理研究所 中國科學院油氣資源研究重點實驗室，北京 100029； 2.中國科學院大學，北京 100049)

0 引 言

Σ-Δ閉環力反饋微機電系統(micro-electro-mechanical system,MEMS)加速度計不僅可以實現高精度模/數轉換，還能夠獲得較好的帶寬、動態范圍和線性性能[1～4]。高精度的MEMS加速度計需要在環路濾波器中級聯積分器構成高階Σ-Δ閉環力反饋系統，但高精度和穩定性難以同時滿足。遺傳算法[5](genetic algorithm,GA)已應用于MEMS加速度計敏感元件參數設計[6]及Σ-Δ MEMS加速度計系統設計[7～8]，但缺少對閉環系統穩定性的考慮，設計的系統往往不是最優。

為此，本文提出并采用了多目標遺傳算法對高階Σ-Δ MEMS加速度計環路濾波器參數進行優化設計，該算法將信噪比和∞—范數作為設計目標。相比傳統單目標遺傳算法設計目標只有信噪比，本文算法在確保高信噪比的同時，提高了系統的相位裕度，使得最大穩定輸入信號范圍增幅超過1倍，并增強了系統對MEMS敏感元件工藝誤差的魯棒性。

1 設計原理

高階Σ-Δ MEMS加速度計的系統框圖如圖1所示[9]。

加速度計中的MEMS敏感元件工作于欠阻尼狀態時，在Σ-Δ閉環系統中，環路濾波器設計的2個目標為增強噪聲整形能力和提高閉環系統的穩定性。為了解決由于前置補償器引入的額外極點而影響系統的噪聲整形效果的問題，本文采用非限定性Σ-Δ MEMS加速度計，非限定性結構具有足夠的自由度設計閉環系統傳遞函數的所有極點以維持系統的穩定性而無需添加前置補償器[10,11]。

圖1 高階Σ-Δ MEMS加速度計系統框圖

以三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計為例，其等效線性模型如圖2所示。

圖2 三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計等效線性模型

由圖可推導出量化噪聲傳遞函數(noise transfer function,NTF)為

(1)

式中Hm(z)為敏感元件離散時間域傳遞函數；kxc為位移—電容比例系數；kcv為電容—電壓比例系數；k1,k2,k3為環路濾波器參數；I(z)為積分器傳遞函數；kfb為靜電力反饋系數；kq為量化器近似等效增益，由仿真得到的量化器輸入值y和輸出值v確定[12]即

(2)

Σ-Δ MEMS加速度穩定性，必須滿足帶外噪聲增益不能過大，因此，選擇噪聲傳遞函數的∞—范數作為調節系統穩定性的參數[13]，∞—范數定義為

‖NTF‖∞=max|NTF(ejω)|

(3)

式中 max|NTF(ejω)|為噪聲傳遞函數在所有頻率上的最大增益，一般選擇∞—范數小于1.5[13]。

2 基于多目標遺傳算法的環路濾波器優化設計

本文采用的多目標遺傳算法設計流程如圖3所示，算法具有2個目標函數值：由輸出比特流的功率譜密度計算得到的信噪比和噪聲傳遞函數的∞—范數。

圖3 多目標遺傳算法流程

初始種群中的個體在參數設定范圍內采用浮點數編碼隨機產生，計算每個個體的信噪比和∞—范數并求得相應適應度，再計算總適應度。每代根據個體總適應度選擇種群中的個體進行交叉、變異操作。為加速收斂過程，確保每代最優個體能遺傳到下一代，保留原種群中的部分優秀個體，和經過交叉、變異操作后形成的新個體一起組成新種群，種群更新比例為0.9。

為避免算法陷入局部最優，個體適應度f由目標函數值的排序確定，其公式如下[13]

(4)

式中N為種群中個體數量;P為個體按照目標函數值排序后的位置，信噪比最高和∞—范數最小的個體分別對應最大的適應度。多目標遺傳算法采用權重系數變換法，總適應度函數為[14]

fT=w1·f1(SNR)+w2·f2(‖NTF‖∞)

(5)

式中w1,w2為權重因子。

3 系統仿真分析

搭建三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計的Simulink模型，如圖4所示，分別采用本文的多目標遺傳算法和傳統單目標遺傳算法對環路濾波器參數k1,k2,k3進行搜索。選擇環路濾波器k1,k2,k3共3個參數的范圍分別為[0.1,50]，[0.1,50]，[0.1,10]。搜索終止條件為進化代數，綜合考慮計算效率和種群多樣性，選擇種群個體數為60個，進化代數為25代。

圖4 三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計Simulink模型

為了更好地說明多目標遺傳算法的優勢，本文在4個方面對2種算法的搜索結果進行對比仿真分析:

1)遺傳進化特性對比。圖5給出了2種算法的歷代種群中個體的平均信噪比和最優信噪比的仿真結果。圖5(a)所示單目標遺傳算法平均信噪比始終波動較大，而圖5(b)所示多目標遺傳算法的平均信噪比在16代后趨于穩定，具有更好的遺傳進化特性。

圖5 歷代搜索結果

2)最后一代個體的∞—范數對比分析。如圖6，單目標遺傳算法得到的最后一代個體的∞—范數平均值約為3.2，而多目標遺傳算法得到的最后一代個體的∞—范數平均值約為1.3，可見多目標遺傳算法設計系統的噪聲傳遞函數增益得到了限制。

圖6 最后一代個體∞—范數分布對比

圖7為多目標遺傳算法搜索得到的個體A和單目標遺傳算法搜索得到的個體B的輸出功率譜密度，個體A的信噪比為121.9 dB，個體B的信噪比為124.5 dB，可以看出2種算法都可以獲得較高的信噪比。根據∞—范數定義計算得到個體A的∞—范數為1.41，個體B的∞—范數為3.18。

圖7 功率譜密度對比

3)系統相位裕度對比分析。對比如表1所示，個體A的相位裕度為41.8°，個體B的相位裕度為18.7°，多目標遺傳算法搜索得到的個體相位裕度明顯提高，系統的穩定性具有較大改善。

表1 個體性能參數比較

4)系統最大穩定輸入信號范圍對比分析。圖8為個體A與個體B的輸入加速度和信噪比的關系。個體A的最大穩定輸入信號約為0.4gn，個體B的最大穩定輸入信號約為0.19gn，多目標遺傳算法搜索得到的系統最大穩定輸入信號范圍增幅超過1倍。個體A與個體B的參數對比如表1所示，可見多目標遺傳算法設計得到的系統信噪比雖略有降低，但系統穩定性明顯提高。

圖8 系統輸入加速度和信噪比的關系

5)系統對MEMS敏感元件工藝誤差魯棒性對比分析。由于非限定性MEMS加速度計對敏感元件中的彈性系數較為敏感[12]，因此，將彈性系數變化范圍設為±40 %進行魯棒性分析。圖9給出了個體A與個體B的魯棒性分析仿真結果。對兩個體的信噪比分別進行最小二乘擬合，由擬合曲線可以看出，與單目標遺傳算法得到的個體B相比，隨著彈簧系數變化增大，多目標遺傳算法得到的個體A的擬合曲線下降更加緩慢，即個體A對彈性系數變化較為不敏感，有更好的魯棒性。

圖9 彈性系數變化與信噪比的關系

4 結 論

本文采用多目標遺傳算法對高階Σ-Δ MEMS加速度計環路濾波器參數進行優化設計，將∞—范數和信噪比同時作為設計目標。仿真結果表明：相比單目標遺傳算法，多目標遺傳算法提高了系統的相位裕度，使得系統最大穩定輸入信號范圍增加超過1倍，增強了對MEMS敏感元件參數偏差的魯棒性。本文提出的方法同樣適用于四階及四階以上的高階系統的優化設計和其他結構Σ-Δ MEMS加速度計的優化設計。

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