函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)方法探究與反思

李一帆

摘 要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其判定方法在也是數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個知識點，可通過數(shù)形結(jié)合來實現(xiàn)，但對于高職院校的學(xué)生來說，如何讓其有效掌握高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性判別法，為函數(shù)單調(diào)性選擇更為簡單的判定方法是本文探究的重點。

關(guān)鍵詞：單調(diào)性 判別法 教學(xué)方法 反思

一、引言

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，在初等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過通過作差法判別函數(shù)的單調(diào)性，但對于某些復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù)，作差法并不能實現(xiàn)單調(diào)性的判別，因此在高等數(shù)學(xué)中，我們引入了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，但是如何能讓學(xué)生更容易掌握導(dǎo)數(shù)方法判別呢？這是值得探究和反思的。

二、單調(diào)性判別法的教學(xué)方法探究

（一）作差法的優(yōu)勢和弊端

設(shè)函數(shù)的定義域為，，任取，且，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；如果任取，且，恒有，則稱函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

在初等數(shù)學(xué)階段，我們對函數(shù)的單調(diào)性的判別方法為定義判別法，即“作差法”，簡單函數(shù)或一般函數(shù)可容易由其判斷出來。（由圖1所示）

圖1

但是，在實際教學(xué)和應(yīng)用中，我們“作差法”存在一些優(yōu)勢，但同時也存在一些弊端。

作差法優(yōu)勢：容易掌握；弊端：復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù)無法判斷出單調(diào)性。

例1判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性。

解 因為的定義域為，則

任取且，作差得

根據(jù)假設(shè)，容易得出，因此判定在其定義域上單調(diào)增加。

例2 函數(shù)是否容易利用“作差法”判斷其單調(diào)性？

解 因為的定義域為，則

任取且，作差得

但在上式中的正負(fù)無法確定，因此“作差法”無法判定其單調(diào)性。高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)判別法判別函數(shù)的單調(diào)性有效的解決了這一問題。

（二）利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性優(yōu)勢、弊端及授課反思

1.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性優(yōu)勢、弊端

定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù).在內(nèi)可導(dǎo).

（1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；

（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少。

導(dǎo)數(shù)判別法判定函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)勢在于它可以判斷復(fù)雜函數(shù)甚至一些相對抽象的函數(shù)容易判定其單調(diào)性。但是其弊端在于對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱的職業(yè)院校學(xué)生來說不易掌握。

2.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性的授課反思

那么作為職業(yè)院校的教師應(yīng)該如何講授讓學(xué)生更容易理解呢？我認(rèn)為，在實際教學(xué)中，可從兩方面講授，以便學(xué)生視自己學(xué)習(xí)情況看哪種方法更易理解。

（1）利用拉格朗日中值定理理解判定定理

設(shè)是內(nèi)任意兩點，且，在上運(yùn)用拉格朗日中值定理得：

如果，則。因為，所以有，

因此在上單調(diào)增加。

同理可證，在上單調(diào)減少。

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解判定定理

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。即

對于增加性不同的函數(shù)，它們每一點處切線斜率，或者說導(dǎo)數(shù)有什么特點嗎？我們通過下圖來觀察一下。

圖2

在圖2-（1）中，是單調(diào)增加的，切線與夾角均為銳角，而銳角的正切值都是正值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，此時，因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi)；在圖2-（2）中，是單調(diào)減少的，切線與夾角均為鈍角，而鈍角的正切值都是負(fù)值，此時，因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi)。注：判斷時，和不影響判定結(jié)果。

例2中，“作差法”未能判定的單調(diào)性，下面我們利用導(dǎo)數(shù)試判定其單調(diào)性。

例3 利用導(dǎo)數(shù)判別法判定的單調(diào)性。

解 因為的定義域為， 而在上，

所以在其定義域上單調(diào)增加。

例4 確定的單調(diào)區(qū)間

解 的定義域為.求的導(dǎo)數(shù)的

.

解方程，得、

這兩個根把分成三個部分區(qū)間、及.

所以：在上單調(diào)增加. 在上單調(diào)遞減。

結(jié)語

本文對函數(shù)單調(diào)性初等數(shù)學(xué)階段的“作差”判別法和高等數(shù)學(xué)階段的導(dǎo)數(shù)判別法的優(yōu)點和弊端進(jìn)行了論證，在教學(xué)方法進(jìn)行了探究和反思，主要目的是為了在教學(xué)過程中使學(xué)生更好的掌握所學(xué)內(nèi)容，做到學(xué)以致用的。

參考文獻(xiàn)

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