吊鏈脫離速度的二次研究

陸少華

(安徽省碭山中學,安徽 宿州 235300)

1 問題及背景

圖1

題目.一個長為L的鏈條,放在光滑的桌面上,其中一端下垂,長度為a,如圖1所示.假定開始時鏈條靜止,求鏈條剛剛離開桌邊時的速度.

在觀摩課上,授課教師在解題方法指導時指出:隨著鏈條下垂長度的增加,鏈條系統的合力和加速度均發生變化,所以不能使用牛頓動力學方法和動能定理的方法來解此題.因此應用系統機械能守恒便成為唯一解題途徑.

常規解法： 鏈條在下垂過程中由于只有重力做功,故系統機械能守恒.設鏈條單位長度質量為λkg/m，取桌面為零勢能面,鏈條系統初機械能為

鏈條系統剛脫離桌面機械能為

其中v為鏈條系統剛脫離桌面時的速度.

根據系統機械能守恒,有E1=E2，解得

2 二次研究

2.1 應用牛頓運動定律

設鏈條單位長度質量為λkg/m,某時刻下垂部分長度為y,其受重力G=λyg.

以整個鏈條為研究對象,根據牛頓運動定律,有F=ma.即

對上式積分有

2.2 應用動能定理

設鏈條單位長度質量為λkg/m,某時刻下垂部分長度為y,其受重力G=λyg,這是個變力.下落過程中,重力做功為

根據動能定理W=ΔEk，解得

2.3 拓展

圖2

題目.若考慮桌面與鏈條之間有摩擦,設滑動摩擦因數為μ.試求鏈條離開桌面時的速度.

解析:設下垂長度為b時,鏈條剛好下滑.下垂部分的鏈條重力為G=λbg,桌面部分受摩擦力為f=μλ(L-b)g.鏈條下滑條件為G≥f解得

根據動能定理W=ΔEk，解得

從上面結論我們可以分析得出,若μ=0時,

此項分析檢驗出桌面粗糙變光滑,鏈條具有相同下垂長度時,它們具有相同的脫離速度.

4 結語

對鏈條脫離過程應用系統機械能守恒的處理方法是學生在高中階段的慣用方法也是經典的做法.隨數學新課程改革的實施,現在高中生已經初步掌握了微積分的知識，將微積分引入高中物理課堂解決實際問題是一個趨勢，也是一個創舉.借此開闊學生眼界、拓展學生思維、讓學生透視數學與物理的緊密聯系.