追根溯源見真 “功”

魯 湘 李 建 魏國強

(1. 石家莊第二中學,河北 石家莊 050004; 2. 河北師范大學物理科學與信息工程學院,河北 石家莊 050024)

1 問題的提出

在高中物理中功的計算公式為w=Flcosα,關于功計算式中位移l的表述一直以來有兩種觀點,觀點1:位移l為力作用點的位移;觀點2:位移l為物體的位移.在高考題中也出現了類似矛盾的情況.例如下面兩道題目.

題1.(2006年全國Ⅰ卷20題)一位質量為m的運動員從下蹲狀態向上起跳,經Δt時間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v.在此過程中,

(B) 地面對他的沖量為mv+mgΔt,地面對他做的功為零.

(D) 地面對他的沖量為mv-mgΔt,地面對他做的功為零.

答案： (B).

圖1

題2.(2013年天津高考卷)如圖1所示,我國女子短道速滑隊在今年世錦賽上實現女子3000m接力三連冠.觀察發現,“接棒”的運動員甲提前站在“交捧”的運動員乙前面,并且開始向前滑行,待乙追上甲時,乙猛推甲一把,使甲獲得更大的速度向前沖出.在乙推甲的過程中,忽略運動員與冰面間在水平方向上的相互作用,則

(A) 甲對乙的沖量一定等于乙對甲的沖量.

(B) 甲、乙的動量變化一定大小相等，方向相反.

(C) 甲的動能增加量一定等于乙的動能減少量.

(D) 甲對乙做多少負功,乙對甲就一定做多少正功.

答案： (B).

根據觀點1:位移l為力的作用點的位移,題1的正確選項為(B),題2的正確選項為(B)、(D).根據觀點2:位移l為物體的位移,題1沒有正確選項,題2的正確選項為(B).

任何一種觀點來解這兩道高考題都和當年高考答案產生了矛盾,那么到底該如何計算功呢?哪一種表述是正確的呢?下面我們通過3個例題進行深入剖析,抽絲剝繭,仔細辨析一下兩種功的計算方法.

2 問題的分析

例1.解放前后,機械化生產水平較低,人們經常通過“驢拉磨”的方式把糧食顆粒加工成粗面來食用,如圖2所示,假設驢拉磨的平均作用力大小為500N,運動的半徑為1m,則驢拉磨轉動一周所做的功為

圖2

(A) 0. (B) 500 J.

(C) 500πJ. (D) 1000πJ.

解析： “驢拉磨”磨盤轉動一周,質心位移為零,但是拉力對磨盤做了功,功的計算應該用力與力作用點位移的乘積,而力乘以物體的位移不能合理解釋.本題中驢對磨的拉力沿圓周切線方向,拉力作用點的速度方向也在圓周切線方向,故可認為拉磨過程中拉力方向始終與速度方向相同,故根據微分原理可知,拉力對磨盤所做的功等于拉力的大小與拉力作用點沿圓周運動弧長的乘積,由題意知,磨轉動一周,弧長L=2πR=2πm,所以拉力所做的功W=FL=500N×2πm=1000πJ.故(D)選項正確.

圖3

例2.在“探究彈性勢能的表達式”實驗中,如圖3所示,先將彈簧的一端固定,使彈簧處于自然長度(彈性勢能為零),然后在另一端施加一個拉力F,求在彈簧被拉長L的過程中拉力做的功.

解析： 在求解彈簧彈力做功的時候,據力乘以力作用點的位移求解是簡潔易懂的;但若采用第2種理解方式,問題就出現了,彈簧自身形狀發生了變化,物體(彈簧)的位移是多大?與轉動情況類似,此處“物體的位移”已失去了確切含義,觀點2的理解也就無法解決,功的計算應為力與力的作用點的位移的乘積.

圖4

圖5

例3.如圖5所示的裝置是運動員負重跑步機,已知人的質量為m1,繩拴在腰間沿水平方向跨過滑輪(不計滑輪摩擦、質量)懸掛質量為m2的重物,人用力向后蹬使傳送帶以速率v轉動(設人的重心相對地面不動),簡述這個過程中皮帶對人的做功情況.

解析： 如果按照觀點1可以得到:人在邁步的過程中,一般只有一只腳和皮帶接觸,在用力向后蹬傳送帶的過程中,腳受到向前的力,力的作用點的位移向后,皮帶對人做負功,如此往復邁步,整個過程都做負功,所以皮帶對人做負功;但是按照觀點2,人的位移為0,所以傳送帶對人不做功,這個結論顯然是錯誤的.

3 問題的結論

通過以上3個例題可以看出,如果物體上各點的運動情況都相同,物體可以看作質點,物體在外力作用下運動時, 其本身位移也就是力的作用點的位移, 因此,上述兩種描述是完全等價的;但是當物體形狀發生變化或物體在外力作用下發生轉動時, 物體不能再看作質點,情況顯然與質點不同,觀點2中 “物體的位移”在此處已失去了確切含義,所以在計算功時,位移l應為力的作用點的位移.

回看題2,乙在推甲的過程中,人的胳膊要從彎曲狀態變為伸直,人的上臂會對小臂產生力的作用,在肘關節處有力且作用點有位移,這屬于乙的一部分(上臂)對另一部分(前臂)做功,不是乙對甲做功;在乙推甲的過程中,接觸點的位移是相同的,力的大小是相等的,所以甲對乙做功和乙對甲做功的大小相等,高考答案給的不妥.

在人教版物理課本(2010年6月第3版)必修2第7章第2節中有這樣一段話:“到了19世紀20年代,法國科學家科里奧利擴展了這一基本思想.明確地把作用于物體上的力和受力點沿力的方向的位移的乘積叫做‘力的功’”.從課本的論述來看,也是支持觀點1的,觀點2在使用時要受到物體是否可視為質點的限制.綜上所述,利用功的計算公式計算功時,位移l應該為力的作用點的位移.

參考文獻：

1 王志剛.對“功”教學中一類疑難問題的思考與建議[J].物理教師,2013,34(10):16-17.

2 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究中心.物理·必修2[M].北京:人民教育出版社,2010:57-60.