以質心為速度參考點的恢復系數的定義及應用

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學，內蒙古 鄂爾多斯 017010)

1 以質心為速度參考點的恢復系數的定義

對于撞擊球1來說,有

(1)

對于被撞球2來說,有

(2)

其中vC為質心的速度,即碰撞的壓縮階段剛剛結束，即將進入恢復階段時兩體共速時的那個速度,滿足m1v1+m2v2=(m1+m2)vC,當然為了方便初學者理解與記憶,式中的vC也可以寫作v共．

實際上,我們可以根據牛頓恢復系數推導得出以質心為速度參考點的恢復系數,對于一個兩體碰撞過程來說,當系統滿足動量守恒定律時,有

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，

進而可得

(3)

(4)

有趣的是如果我們對(3)、(4)兩式進行巧妙地變形即可得到(1)、(2)兩式.

對于(3)式來說,

vC-e(v1-vC).

對于(4)式來說,

vC+e(vC-v2)

不難發現,按照這種定義方式,如果我們已知碰撞前兩個球各自的速度,則根據(1)、(2)兩式可以簡捷、準確地直接寫出碰后兩個球的速度分別為多大,不需要列方程組進行繁瑣地求解．而事實上,以質心為速度參考點的恢復系數其用武之地遠不止這些,為了進一步說明其應用價值,下面再來嘗試處理幾例典型的兩體對心碰撞中的疑難問題．

2 以質心為速度參考點的恢復系數的應用

例1.甲、乙兩名滑冰運動員在光滑的冰面上沿同一直線相向運動,速度的大小分別為v甲、v乙,且v甲=3 m/s,v乙=1m/s,迎面碰撞后(正碰)甲、乙兩人均反向運動,速度大小均為vt=2m/s,則甲、乙兩人的質量之比為

(A) 2∶3. (B) 2∶5.

(C) 3∶5. (D) 5∶3.

解得

例2.在光滑水平面上,A、B兩球沿同一直線同向運動,碰撞后粘在一起,若碰撞前A、B兩球的動量分別為6 kg·m/s、14 kg·m/s,碰撞中B球動量減少6 kg·m/s,則A、B兩球碰撞前的速度之比為

(A) 3∶7. (B) 3∶4.

(C) 2∶7. (D) 7∶4.

解析:由于碰撞后粘在一起,因此恢復系數e=0,由題可知,質心的速度為

vC-v1′=0,

現在我們只需要考察撞擊球,而B為撞擊球,且碰后B球的動量為8 kg·m/s,根據vC-vB′=0,有

例3.動量分別為5 kg·m/s和6 kg·m/s的小球A、B沿光滑水平面上的同一條直線同向運動,A追上B并發生碰撞后,若已知碰撞后A的動量減小了2 kg·m/s,而方向不變,則A、B質量之比可能是

(A) 5∶6. (B) 3∶8.

(C) 1∶2. (D) 4∶7.

解析:由題可知,碰撞后A的動量為3 kg·m/s,且質心的速度為

選項(B)、(C)、(D)正確．

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5.

3 結語

可以看出以質心為速度參考點的恢復系數不僅形式上具有很強的簡潔性、對稱性,而且針對很多實際問題與傳統的牛頓恢復系數一樣具有很好的應用價值,筆者查閱了相關的大中學教材以及相關文獻,發現目前還沒有此種定義方式,鑒于此,筆者撰寫本文,希望可以拋磚引玉,引起廣大的大中學物理教師的重視并進一步挖掘其使用價值,進而能更好地服務于物理教學,促進基礎教育的進步與發展．

參考文獻：

1 李逸良,邱信明,張雄.恢復系數的不同定義及其適用性分析[J].力學與實踐,2015(06):773-777.

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4 陳長.恢復系數在一維碰撞中的巧妙運用[J].物理教師,2017(9):91-92.