對旋轉棱鏡法和旋轉齒輪法測光速的討論

李忠相 胡馨月 李思衡 張倫銘

(重慶市第一中學校，重慶 400030)

真空中的光速是物理學基本常數之一．1973年確定的國際標準值為c=299 792 458 m/s,1983年第17屆國際計量大會決定,將光在真空中1/299 792 458s內運行路程的長度作為“m”的新定義．1986年,國際科技數據委員會又規定1973年的光速國際標準值為精確值．

光速的測定在物理學史上有非常特殊而重要的意義，它不僅推動了光學實驗的發展,打破了光速無限的傳統觀念,也為粒子說和波動說的爭論提供了判定的依據,而且最終推動了愛因斯坦相對論理論的發展．歷史上,光速的測定花費了好幾代物理學家的心血,方法不斷改進,測量結果越來越精確,這些巧妙的實驗中蘊含了十分豐富的教學價值,但大多數教材都只是一帶而過．近日,在面向九年級資優學生的講座中對旋轉棱鏡法和旋轉齒輪法測光速進行了嘗試性挖掘,取得了較好的效果．于是我們把幾個相關問題及其討論整理成此文,與大家分享．

題目.圖1給出了歷史上測量光速的兩種經典裝置簡圖．其中甲圖為旋轉棱鏡法,乙圖為旋轉齒輪法．請據此完成以下問題:

(1) 闡述兩種測量方案的測量原理和測量步驟;

(2) 兩種測量方案需要分別記錄哪些物理量,并給出計算光速的相應表達式;

(3) 結合實際情況,對兩種方案的優劣進行對比;

(4) 查閱相關史實,了解光速測定的歷程,體會光速測定的艱辛和成就．

通過學生獨立思考、相互討論和教師引導,當堂完成了前3個問題．第(4)問留作課后作業,一周之后作了交流討論．通過討論,對這兩個實驗有了更深入的認識．

甲 旋轉棱鏡法

乙 旋轉齒輪法

1 測量原理和步驟

1.1 旋轉棱鏡法

圖2 旋轉棱鏡法原理

測量原理:如圖2所示,棱鏡不轉動時,只有八棱鏡的某一面(如圖中的1號面)恰好與入射光線成45°角時,光線能被反射至遠方的反射裝置,反射回來的光線經3號面反射進入觀察者眼睛,觀察者能看到光源的像．棱鏡以較小的轉速轉動時,光線經1號面和反射裝置反射后到達棱鏡時,3號面已經不再與光線成45度角,光線無法進入觀察者眼睛,觀察不到光源的像．若緩慢提高棱鏡轉速,當光線反射回棱鏡時,棱鏡剛好轉過1/8轉,即2號面轉至原3號面所在位置,則光線又可以進入觀察者眼睛,重新看到光源的像．

測量步驟:先在棱鏡不轉動的情況下,調節棱鏡和反射裝置,使觀察者能看到光源的像．緩慢提高棱鏡轉速,當再次看到光源的像時,即達到目標轉速．在目標轉速下,理論上看到的應該是不斷閃爍的像,但閃爍間隔通常非常小,由于視覺暫留,實際看到的是光源“持續”的像．

1.2 旋轉齒輪法

測量原理:實驗中選用齒寬和齒間縫寬相等的齒輪,當齒輪勻速轉動時,光線周期性被齒輪遮擋,穿過光線的光強隨時間變化規律如圖3中甲所示．這些光線由反射裝置反射回齒輪處時,具有一定的延時,光強隨時間變化規律如圖3中乙所示．返回的光線被齒輪部分遮擋,如圖3中陰影部分．若進一步提高齒輪轉速,則齒輪透光時間和擋光時間均減小,反射光線中被遮擋的比例增大(如圖3中丙所示)．當其減小到剛好等于光線反射延時(如圖3中丁所示),反射光線剛好全部被遮擋,觀察者剛好看不到光源的像．

圖3 旋轉齒輪法原理

測量步驟:先在齒輪不轉動的情況下,調節齒輪和反射裝置,使觀察者能看到光源的像．緩慢提高齒輪轉速,光源的像逐漸變暗,當看到光源的像第一次完全變暗時,即達到目標轉速．

2 待測物理量和計算公式

2.1 旋轉棱鏡法

由前述測量原理可知,該實驗需要測量反射裝置到棱鏡的距離L,目標轉速n(以“r/s”為單位),由于光在距離L上一個來回的時間內棱鏡剛好轉過八分之一圈,有

(1)

得

c=16nL.

(2)

2.2 旋轉齒輪法

(3)

得

c=4nNL.

(4)

3 兩種方案的對比

3.1 實驗現象及精度

旋轉棱鏡法中,棱鏡轉速只有在目標轉速附近極小的范圍內可以看到光源的像,其他轉速下均觀察不到光源的像．雖然理論上目標轉速的整數倍處也能看到光源的像,但目標轉速非常大,其整數倍幾乎難以實現,故不做考慮．所以,在此實驗中,實驗現象稍縱即逝,難以被觀察到．而一旦被觀察到,對應的轉速會比較精確,測量結果精度較高．

旋轉齒輪法中,齒輪轉速在接近目標轉速的過程中,看到光源的像逐漸變暗,轉速超過目標轉速后,像又逐漸變亮．所以,在此實驗中,實驗現象容易被觀察到．但在目標轉速附近,像的亮度小到觀察者無法識別時會和目標狀態混為一體,于是目標轉速的不確定度便增大了,降低了實驗精度．

3.2 實驗條件

光速難以測量主要是因為光速數值太大,由公式(2)和(4)不難發現,實驗需要盡可能大的反射距離L和轉速n．考慮到光束的發散、損耗等因素,距離L不能無限制增加,若兩個方案使用相同的距離L,增大齒輪齒數可以顯著降低對轉速的要求,但八棱鏡卻受限于加工精度不便于隨意增加鏡面數,所以旋轉齒輪法在實驗條件上具有優勢．

4 對旋轉齒輪法計算公式的修正

當齒輪不轉動時,觀察者看到光源的像是連續存在的,將其亮度記為I0;當齒輪轉動時,像的亮度降低．若觀察者能識別的最小亮度為αI0(α為小于1的常數),當轉速增大到某一值(記為n1)時像剛好無法識別,轉速繼續增大到另一值(記為n2)時重新觀察到像．那么,目標轉速n能否由n1和n2確定?

如圖4甲所示,當齒輪齒數為N，轉速為n1時,透光時間和擋光時間均記為ΔT,有

圖4 旋轉齒輪法像的亮度

(5)

光線在距離L上一個來回用時記為Δt,有

(6)

觀察者觀察到像的亮度αI0與齒輪不轉動時像的亮度I0之比等于一個周期內反射光的透光時間與周期2ΔT之比,即

(7)

由(5)～(7)式可得

(8)

同理,可得當轉速為n2時,有

(9)

由(8)、(9)式可得

c=2(n1+n2)NL.

(10)

此即為考慮到觀察者分辨臨界后的光速計算公式．與(4)式對比可知,目標轉速n和n1、n2的關系為

(11)

可見,在亮度減小和增加時觀察閾值一樣的假設下,利用(10)式可以提高測量精度．

5 一些相關史實

1849年法國人斐索(A.H.Fizeau)用旋轉齒輪法(即圖1乙所示)測得光速為3.153×108m/s．成為在地面上用實驗方法測定光速的第一人．旋轉齒輪法能率先取得成功但誤差相對較大,和前文對于實驗現象和精度的分析結論一致．當時采用的距離大約8 km,齒輪齒數720,所需轉速大約13r/s,這在當時通過機械裝置是可以實現的．

圖5 傅科用旋轉鏡法測光速

1862年法國人傅科(J.L.Foucault)用旋轉鏡法測量空氣中光速為2.98×108m/s．旋轉鏡法(如圖5所示)是本文所述旋轉棱鏡法的前身,實驗難度很大但精度較高．

1874年考爾紐(A.Cornu)改進了斐索的旋轉齒輪法,取得更精確的結果,即2.999×108m/s．由改進方案,成功地提升了旋轉齒輪法的測量精度．

1879年美國物理學家邁克爾遜(A.A.Michelson)又改進了傅科的旋轉鏡法,測得光速為(2.999 1 ± 0.000 5)×108m/s．邁克爾遜的實驗非常精湛,他把畢生精力沉浸在光學實驗中,以光速精密測量為己任,40多年后,他把方法逐漸發展為旋轉棱鏡法(即圖1甲所示),1926年他用棱鏡的相反兩面發送和接收信號(如圖6),在相距35km的兩山之間,測得光速的結果為(2.997 96 ± 0.000 04)×108m/s．這個實驗免除了旋轉鏡法中對角度測量的偏差,進一步提高了測量精度．

圖6 邁克爾遜手繪的光速測量示意圖(1926年)

參考文獻：

1 郭奕玲,沈慧君.物理學史(第2版)[M].北京:清華大學出版社,2005:140-144.

2 弗卡約里.物理學史[M].桂林:廣西師范大學出版社,2008:118-122.