物體排開液體的體積究竟等于什么

王偉民 托合提外力·阿卜杜熱西提

(1. 安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學校，安徽 太和 236652； 2. 新疆自治區(qū)皮山縣桑株鎮(zhèn)第一中學，新疆 皮山 845150)

阿基米德原理說的是浸在液體中的物體所受浮力大小與物體排開液體重力間的關(guān)系,其數(shù)學表達式為F浮=G排=ρ液gV排．但凡涉及物體所受液體浮力大小的計算,條件改變時物體所受浮力大小變化的判斷,幾個物體所受液體浮力大小的比較等問題,往往需要對物體排開液體體積的大小進行定性比較或定量計算．教學中發(fā)現(xiàn),對各種不同情況下物體排開液體體積大小的判斷問題,不僅學生有時存在疑慮,而且很多教師也存在不同的看法．

例1.(2016年湖南長沙中考二模24題)如圖1(甲)所示,臺秤上放置一個裝有適量水的薄壁燒杯,杯的底面積為100cm2．如圖1(乙)所示,將一個長方體實心物體A用彈簧測力計吊著,然后將其一半浸入燒杯的水中,杯內(nèi)水沒有溢出,此時彈簧測力計的示數(shù)為4.5N,臺秤的示數(shù)為750g,燒杯中液面上升了1.5cm(g取10N/kg).求: (1) 物體A所受的浮力; (2) 物體A的密度; (3) 物體放入燒杯之前燒杯對臺秤的壓強．

圖1

這道浮力題目曾經(jīng)在某物理群內(nèi)引起眾多教師的關(guān)注和討論．

群內(nèi)教師主要是對第(1)個問題： “物體A所受的浮力”的計算存在爭議,大部分教師認為僅根據(jù)題目給出條件,無法確定物體A排開水體積的大小,當然也就無法根據(jù)阿基米德原理計算物體所受浮力的大小了，而該題目后面兩個問題的求解均是建立在浮力求解的基礎(chǔ)之上,所以,如果物體A所受水的浮力無法確定的話,那么,接下來的兩個問題： 物體A密度的計算以及物體放入燒杯之前燒杯對臺秤的壓強,也將成為無法確定答案的問題了．當然,群內(nèi)也有少數(shù)教師的觀點是,拿容器的底面積100cm2與放入物體A之后燒杯中的水面上升的高度1.5cm的乘積,作為物體A排開水的體積,進而利用阿基米德原理可以計算出它所受的浮力,物體A所受水的浮力一旦求出,后面的兩個問題也就不難解決了．但持這樣觀點的教師無法說明這個乘積等于A排開水體積的原因,所以,群內(nèi)的多數(shù)教師并不認同這一觀點．

我們不妨分情況討論浸在柱狀容器液體中的物體,物體排開液體的體積與容器橫截面積、液面升高高度間的定量關(guān)系．

1 物體浸沒在液體中的情形

圖2

如圖2所示,量筒內(nèi)裝有水,將一外形不規(guī)則的物體(外形不規(guī)則的物體更具一般性)投入其中,若物體不吸水,且物體密度比水大,則物體會沉入水底,易知,在這種情況下物體排開水的體積與物體體積相等,大小等于容器的橫截面積與液面升高高度的乘積

V排=S·Δh.

當然,如果柱狀容器原來裝滿液體(例如開口在頂部的溢水杯裝液體的狀況),當物體放入液體并浸沒在液體中時,被物體排開的液體將全部流淌到容器之外,如圖3所示．如果我們選擇一個橫截面與容器橫截面積相同的柱狀容器來承接被物體排開的液體,則物體排開液體的體積依然等于容器的橫截面積與液面“升高高度”的乘積——在液體溢出之后,如果把承接液體的容器內(nèi)液體高度的增量認為是原來裝滿液體的容器液面升高高度的話．此時依然有V排=S·Δh.

圖3

2 物體部分體積浸在液體中的情形

我們?nèi)砸愿咭话阈缘耐庑尾灰?guī)則的物體浸在液體中的情形為例進行分析．如圖4所示,將一個外形不規(guī)則的幾何體,放入盛有水的柱狀容器中,設(shè)容器的橫截面積為S,跟原來容器中的水面相比,假設(shè)物體浸在水中之后只有部分體積在水中,穩(wěn)定后水面上升Δh,由圖4可知(注:我們看到的是容器的豎向切面圖,被物體“擠”出去并上升的水的體積在圖4(乙)中看起來是V3和V4兩部分,實際上這兩部分是連在一塊并環(huán)繞物體一周的,不過這并不影響問題的討論),此時物體排開水的體積為V1+V2,而V2=V3+V4(這相當于物體浸入水中時,把V2這部分水給“擠”到了V3和V4的位置,屬于水的等積變換)，故有V排=V1+V2=V1+V3+V4=S·Δh.

圖4

物體浸在液體中時,物體排開液體的體積指的是物體在液體中“占有”的體積,不是所有情況下都等于被物體“擠走”的那部分液體的體積，如圖3(乙)所示的情形,物體放入裝滿水的容器中時,被物體“擠”出去的水的體積等于物體排開水的體積．從以上分類討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),不論物體是浸沒在液體之內(nèi)的狀況,還是物體的部分體積浸在液體中的情形(例如物體漂浮在液面的情形),對柱狀容器而言,物體放入其中時,如果液體沒有排出容器之外的話,物體排開液體的體積都等于容器的橫截面積與液面升高高度的乘積．前面提到的一些教師對上面給出例1題設(shè)的不同看法,是指部分教師錯誤地認為,當物體放入水中并漂浮時,物體排開水的體積是被物體“擠走”的水的體積,大小應(yīng)該等于容器的橫截面積與物體A的橫截面積之差跟液面升高高度的乘積,由于題目條件只是給出了容器的橫截面積,沒有給出物體A的橫截面積,所以,這部分教師誤認為該題目條件不足,無法求解．

如果說例1給出的漂浮物體排開液體體積的判斷容易讓人產(chǎn)生誤解的話,那么,下面的這個判斷物體排開液體體積的問題,欺騙性會更強．

例2.如圖5所示,一連通器內(nèi)裝有水,已知該連通器左右兩管的橫截面積分別為S1=500cm2和S2=100cm2,現(xiàn)將一個體積是8000cm3,截面形狀與左管橫截面形狀相同,面積略小于S1的柱狀木塊慢慢投入左管內(nèi),木塊漂浮時,木塊與容器器壁間很薄的夾縫內(nèi)有水隔離,穩(wěn)定后測得右管水面上升10cm,不計夾縫內(nèi)水的體積,求木塊的密度(g取10N/kg)?

這道題目,因為木塊放入左管之后與容器間的夾縫很小,題目有“夾縫內(nèi)水的體積可以忽略”的條件(這實際上是一個“陷阱”條件,即使木塊與容器器壁間的距離很寬,它們之間的夾縫內(nèi)水的體積不可以忽略,在其他條件不變的情況下,依然不影響問題的答案),所以,根據(jù)題目條件很容易讓人產(chǎn)生物體投入左管后,“右管上升的體積就是物體排開水的體積”的假象,如果按這一錯誤思路分析,將右管橫截面積100cm2與物體投入左管后,右管水面升高高度10cm的乘積1000cm3作為木塊排開水的體積,進而利用阿基米德原理求出木塊所受水的浮力(10N)作為漂浮在水面的木塊的重力,最后計算出木塊密度(這樣計算出木塊密度的結(jié)果為0.125×103kg/m3)的做法,則是一種錯誤的處理問題的方法．

圖5

本問題中,物體排開液體的體積等于容器的橫截面積(即連通器左右兩管橫截面積之和,大小為600cm2)與液面上升高度10cm的乘積,大小是6000cm3,利用這一數(shù)據(jù)根據(jù)阿基米德原理求出物體所受浮力作為漂浮木塊的重力,計算出木塊的密度是0.75×103kg/m3．