淺談數學模型在金融市場中的應用

摘 要：在金融領域中，數學模型有著較為廣泛的應用，通過對數學模型的有效利用，能將市場之間的關系以及金融市場的內在邏輯進行清楚的辨析。本研究就對在金融市場中數學模型的具體應用作進一步的探討分析。

關鍵詞：數學模型；金融市場；應用

數學模型在經濟領域的應用，隨著數學水平以及計算機技術的快速發展得到了越來越高的關注，尤其在金融領域。金融市場上的較易以及投資是金融領域中較為復雜以及核心的部分，所以，想在廣闊無垠的投資標的中，正確根據投資人的需求將不同資金流配到各種產品中，需要對金融市場上的不同產品有一個全面的熟悉，還需要以此為基礎，有效識別其風險以及受益特征，然后再對不同的產品進行有效的組合，是資金能在面臨一定風險水平的同時有最大化回報。

一、數學模型簡介

數學模型主要是運用數學語言以及數理邏輯方法來進行科學模型的建構，數學模型能將實際的復雜問題簡單化和抽象畫，然后通過數學語言表述出來，所以說數學模型可以是簡答的也可以是復雜的。比如，在經濟學中，可以通過供給曲線以及需求曲線來將產品市場描述出來，而在生物學中則可以通過J字型曲線來對種群數量隨著時間的變化表述出來，這就是簡單的數學模型；再如，可以通過神經網絡算法來對最優化問題進行解決，這就是復雜的數學模型。而在現代金融分析中，則可以通過數學模型來對定量以及定性進行分析，然后將金融活動中潛藏的規律找出來，然后將其用來進行實踐指導，這也是當前較為普遍的技術手段。

二、證券投資組合模型在金融領域中的應用

美國經濟學家馬考維茨于1952年提出了投資組合理論，同時對其進行了系統且深入的研究，馬考維茨也因此獲得了諾貝爾經濟學將。該理論先對單支證券的收益及其風險進行了考察，然后站在概率論的角度來將證券價格看作隨機變量，并且根據這一變量的數學期望來對證券收益作了進一步的刻畫，根據波動性度量指標，也就是其方差來對風險進行刻畫。針對由多種具有不同收益風險證券所組成的投資組合，證券投資組合模型認為投資組合的收益是這些證券收益的加權平均，而其風險需要將單支證券的風險和其各自的相關性進行綜合考慮。進行這種模型的構建，能看出其投資組合可以將風險最大化降低。

其一，證券投資組合模型中的資產組合預期收益模型，主要是將投資組合中的證券價格看作是隨機變量，然后用起均值來將收益表示出來。

其二，資產組合方差模型，主要是通過利用方差來將各種收益之間的關系表現出來：

這一方差能將投資組合中的風險進行刻畫，投資組合的實際收益距離預期收益的波動性會隨著其方差的變大而越來越大，這就說明投資人也要面臨著更大的風險。資產組合方差模型的主要特點是能通過數學模型的利用來將各種證券風險以及收益之間的關系直觀的看出來，同時也能表明不同資產的收益率之間沒有較大的相關性，組合的整體風險也就越低，這就體現了不把雞蛋放在同一個籃子里的道理。但是這只能體現出大致的關系，具體的投資還應該作具體的分析。這一模型可以通過均值 — 方差來表述出來，同時將現代金融中分散化投資進行科學的闡述。

三、資本資產定價模型在金融市場中的應用

在金融市場中應用數學模型，資本資產定價模型是一大成果，這一模型也稱作CAPM模型，是約翰·林特納以及威廉·夏普共同創造的，主要是對確定證券市場價格的方法的闡述。資本資產定價模型在市場上所有產品都是根據自身的市值來對投資組合進行構建，以此來形成市場組合的，其基準是市場組合風險，主要是對任一投資組合價格以及其風險關系的刻畫。可以將資本資產定價模型用這一公式來進行表達：

這一公式中的Eri表達的是資產i的預期回報率；rf表達的是無風險利率；而βim被稱為資產i的系統性風險，也就是Beta系數，是資產組合以及市場組合相關性共同決定的；Erm表示市場中預期市場回報率，Erm-rf表示預期市場回報率和無風險回報率的差，即是市場風險溢價。根據這一公式可以看出，任何一個投資組合與無風險收益的溢價和市場組合與無風險收益的溢價都成正比關系，比例系數是這一資產和資產與市場組合之間的相關性。風險溢價和市場組合的風險溢價會隨著相關性的增大而更加的接近。這一較為簡單的線性模型能將收益以及風險之間的關系作進一步的表明，其對資本資產定價有著較為重要的價值。其能提供一個可以對風險大小進行衡量的模型，并將其用來幫助投資者來對風險以及收益的相對大小作出清晰的判斷。資本資產定價模型也能反應出馬克思注意經典政治經濟學，資產價格會圍繞著資產價值產生波動，并且將其具體細化為相關性。

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作者簡介：馮逸陽，四川省江油中學。