直線與圓錐曲線的位置關系判斷方法

周雪穎

摘 要：直線與圓錐曲線位置關系的判斷是歷年來高考考察的重難點，長以解答題的形式進行考查，以直線與圓錐曲線方程為基礎，結合有關概念及計算，將位置關系轉化為相應的方程或方程組進行求解，由于涉及的知識點范圍廣、運算十分繁冗復雜，需要學生具備較強的運算能力和數學邏輯思維，導致很多高中生對該部分內容學習望而生畏，為此，本文對直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法進行重點討論，并在學習過程中總結了一些學習心得體會，以期能夠為同學們的學習提供一定參考。

關鍵詞：直線；圓錐曲線；位置關系；判斷方法；學習重難點

直線與圓錐位置關系問題是高考解析幾何重點考查內容，由于這部分知識不僅需要運用豐富的數學思想方法，而且涉及面廣、運算量大、計算復雜，很多同學在學習過程中普遍感覺比較困難，為此，我們有必要對直線與圓錐曲線關系問題進行深入的研究，掌握一些常用的判斷方法，理清問題求解思路，提高學習效率，從而為高考奠定良好的基礎。

一、直線與圓錐曲線位置關系判斷常用方法

在初中數學中我們學過，探討直線與圓的位置關系，主要通過圓心到直線的距離d和半徑r的大小關系進行判斷，當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d

直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何的角度來分析，可以看做是直線與圓錐曲線有無公共點的問題，而從代數的角度來分析，可以聯立直線l與橢圓曲線C的方程，將直線l的方程Ax+By+C=0帶入曲線方程F（x，y）=0中，即：

消去變量y（或x）得到關于變量x（或y）的一元二次方程：

這樣通過判斷一元二次根的情況，討論直線與圓錐曲線交點個數情況，進而根據交點個數來判斷直線與圓錐曲線的位置關系。值得注意的是，當題目中沒有給出直線l的方程時，我們在進行分類討論時不要忽略直線斜率不存在的情況。

（1）當a=0，b=0時，直線l與圓錐曲線C沒有公共點；

當a=0，b≠0時，直線l與圓錐曲線C有且僅有一個公共點；

其中，值得注意的是，當直線l和圓錐曲線C僅有一個公共點時，兩者不一定相切。

（2）當a≠0，Δ>0時，直線l與圓錐曲線C相交，且有兩個交點；

當a≠0，Δ=0時，直線l與圓錐曲線C相切，有一個交點；

當a≠0，Δ<0時，直線l與圓錐曲線C相離，沒有交點。

二、直線與圓錐曲線位置關系相關問題總結分析

在學習直線與圓錐曲線位置關系這部分內容時，我們首先需要牢牢把握兩者位置關系判斷一些比較常用的方法，并在此基礎上將直線與圓錐曲線位置關系題目中涉及的知識點進行合理的分類，認真做好學習筆記和錯題記錄，并學會分析題目中所蘊含的數學思想方法，積累一些常用的化簡、變形的技巧和方法，進而提高自己的解題效率和正確率。

（一）直線與圓錐曲線有一個交點的問題

1.直線與橢圓曲線相切時，判斷參數取值范圍

例1：已知直線y=kx-1與橢圓 相切，則k，a之間的關系式？

解：由 ，得 。

因為直線與橢圓相切，所以： ，即

2.直線與拋物線對稱軸平行時，直線與拋物線只有一個交點；直線與雙曲線漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點。

（二）直線與圓錐曲線有兩個交點的問題

1、弦長問題

直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是求弦長的問題，我們在解題過程中的一般思路是利用韋達定理法，將直線方程l帶入圓錐曲線方程，消去y或x后，得到x或y的一元二次方程 ，再根據弦長公式 。其中， 可以直接利用公式 進行計算。而當斜率不存在時，可以求出交點坐標，直接利用軸上兩點間距離公式進行計算。

2、中點弦問題

涉及弦的中點及直線的斜率問題時，假設直線與圓錐曲線相交于兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），弦AB的中點為P（x0，y0），然后可以考慮點差法，構造出x1+x2，y1+y2和斜率 ，運用整體帶入的方法，求中點或斜率，從而體現設而不求的思想。重視中點坐標公式和韋達定理。

三、結語

綜上所述，在判斷直線與圓錐曲線位置關系時，我們首先考慮是的將其轉化為直線與圓錐曲線方程組的交點個數的問題，然后對一元二次方程的根的情況進行判定，進而判斷兩者的位置關系。靈活的運用判別式和韋達定理，可以幫助我們快速的求解參數范圍、幾何極值、弦長等相關問題，同時還要巧妙的運用分類討論、數形結合、方程思想、類比等數學思想，這樣就可以有效的克服學習該內容的障礙，有利于提高解題效率和正確率。

參考文獻：

[1]施貴軍.直線與橢圓位置關系的三角判斷法及應用[J].中學生數學，2016（15）：4-5.