例談函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題

張子才

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的主要性質(zhì)，在解題中運(yùn)用很廣泛，下面就結(jié)合具體例子談一談關(guān)于函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題。

一、利用函數(shù)的奇偶性直接求值

例1：f（x）是R上的奇函數(shù)，x∈（0，+∞）的解析式為f（x）=■.求f（-1）的值.

解1：∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），則f（-1）=-f（1）

∵f（x）=■，x∈（0，+∞） ∴f（1）=■

∴f（-1）=-f（1）=-■

解2：設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），∴f（-x）=■=■

∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），則f（x）=-f（-x）=

-■=■

則x∈（-∞，0）的函數(shù)解析式為f（x）=■，∴f（-1）=■=-■

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性求值主要是將未知的值或區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知的值或區(qū)間變式：設(shè)f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=■，求函數(shù)f（2）、g（2）的值.

解∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，

∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），由f（x）+g（x）=■①

用-x代換x得f（-x）+g（-x）=■，

∴f（x）-g（x）=■②

（①+②）÷2，得f（x）=■；則f（2）=■

（①-②）÷2，得g（x）=■.則g（2）=■

例2：已知x，y∈R滿足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求x+y的值.

解：設(shè)g（t）=t3+2018t，而且容易知道g（-t）=-g（t），∴g（t）在R上是奇函數(shù)

∵（x-1）3+2018（x-1）=-1 ∴g（x-1）=-1

∵（y-1）3+2018（y-1）=1 ∴g（y-1）=1

g（x-1）=-g（y-1）

則∴x-1=-（y-1）

∴x+y=2

點(diǎn)評(píng)：觀察式子特點(diǎn)，將x-1，y-1視為一個(gè)整體構(gòu)造函數(shù)g（t）=t3+2018t，再利用函數(shù)的奇偶性找到x-1，y-1的關(guān)系，進(jìn)而求出x+y=2

以上兩例都是已知或可證明函數(shù)的奇偶性解決求值問題，下面若是遇見非奇非偶函數(shù)可以間接處理。

二、利用函數(shù)的奇偶性間接求值

例3：f（x）=ax3+bx+c3■+8且f（-2）=10，求f（2）的值

解：設(shè)g（x）=f（x）-8，則g（x）=ax3+bx+c3■是在R上的奇函數(shù)

g（-2）=f（-2）-8=10-8=2，

∴g（2）=-g（-2）=-2

又∵g（2）=f（2）-8

∴-2=f（2）-8

則f（2）=8-2=6

點(diǎn)評(píng)：例題中雖然函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，但觀察表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達(dá)式，所以可將f（x）=g（x）-8轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)g（x）求值從而間接求出f（2）的值。

例4：已知f（x）=x3+3x2+6x+14，f（a）=1，f（b）=19，求a+b的值

解：∵f（x）=x3+3x2+6x+14=（x+1）3+3（x+1）+10

∵f（a）=（a+1）3+3（a+1）+10=1

f（b）=（b+1）3+3（b+1）+10=19

∴（a+1）3+3（a+1）=-9

∴（b+1）3+3（b+1）=9

設(shè)g（t）=t3+t，而且g（t）在R上是奇函數(shù)，則a+1=

-（b+1），∴a+b=-2

點(diǎn)評(píng)：本題通過巧妙構(gòu)造新的“準(zhǔn)奇偶性”的函數(shù)來解決函數(shù)中的求值問題，這種利用奇偶性構(gòu)造方法在以后的學(xué)習(xí)中是常用的方法。

？誗編輯 張珍珍