關(guān)注核心概念，悟《解三角形》中求參數(shù)范圍之道

陳斌

解三角形時往往會遇到求邊、角或代數(shù)式的取值范圍（或最值）問題，解決這類問題是一個難點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)是自然的，只要關(guān)注核心概念，就能悟出求解此類問題之道。

本部分的核心概念當(dāng)屬“三角形”，它的內(nèi)涵包含邊邊、角角和邊角關(guān)系，重要定理是內(nèi)角和定理、正弦定理和余弦定理。它的外延已經(jīng)豐富到了任意三角形。“三角形”的概念對本部分起著統(tǒng)領(lǐng)和主導(dǎo)作用。

例1.已知△ABC中，B=60°，AC=■求AB+2BC的最大值.

分析：本題只要關(guān)注到核心概念之邊角關(guān)系，若根據(jù)正弦定理，則把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而利用三角函數(shù)求最值即可；若根據(jù)余弦定理，則問題轉(zhuǎn)化成了直線與曲線的關(guān)系問題，相切時取最值。

簡解一：因?yàn)椤?■=■=K，而■=2，

則AB=2sinC，BC=2sinA，

故AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（■-A）+4sinA

=5sinA+■cosA=2■sin（A+φ），φ∈（0，2π）

又A∈（0，■）

故AB+2BC的最大值為2■.

簡解二：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，由余弦定理的推論cosB=■，所以a2+c2-ac=b2=3，設(shè)c+2a=m，代入上式并整理得7a2-5am+m2-3=0，Δ=84-3m2≥0故m≤2■

當(dāng)m=2■時，此時a=■，c=■符合題意，

因此最大值為2■.

例2.在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且B=2A，求■的取值范圍.

分析：本題的核心概念仍然是三角形的邊角關(guān)系，解題思路還是根據(jù)正弦定理，把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而求三角函數(shù)的值域；但是，本題的另一個核心概念是“銳角三角形”，只有關(guān)注到它，才能正確確定出函數(shù)的定義域。

簡解：在銳角△ABC中，∵B<■ ∴A=■<■

∵A+B=π-C>■ ∴3A>■ ∴A>■

∴■

由正弦定理得：■=■=■=2cosA

∴2cos■<2cosA<2cos■ ∴■<■<■

綜上所述，■的取值范圍為（■，■）.

例3.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，求x的取值范圍.

分析：本題的核心概念是“三角形有兩個解”，由此確定出函數(shù)的定義域即可.

簡解：∵■=■=2■ ∴a=2■sinA

因?yàn)锳有兩個值，所以a>b，故A>45°

∵A+C=135° ∴45°

又若A=90°也是一解，所以■

所以x的取值范圍是（■，2■）.