關注核心概念，悟《解三角形》中求參數范圍之道

陳斌

解三角形時往往會遇到求邊、角或代數式的取值范圍（或最值）問題，解決這類問題是一個難點。但是，數學是自然的，只要關注核心概念，就能悟出求解此類問題之道。

本部分的核心概念當屬“三角形”，它的內涵包含邊邊、角角和邊角關系，重要定理是內角和定理、正弦定理和余弦定理。它的外延已經豐富到了任意三角形。“三角形”的概念對本部分起著統領和主導作用。

例1.已知△ABC中，B=60°，AC=■求AB+2BC的最大值.

分析：本題只要關注到核心概念之邊角關系，若根據正弦定理，則把關于邊的代數式轉化為三角式，從而利用三角函數求最值即可；若根據余弦定理，則問題轉化成了直線與曲線的關系問題，相切時取最值。

簡解一：因為■=■=■=K，而■=2，

則AB=2sinC，BC=2sinA，

故AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（■-A）+4sinA

=5sinA+■cosA=2■sin（A+φ），φ∈（0，2π）

又A∈（0，■）

故AB+2BC的最大值為2■.

簡解二：設AB=c，AC=b，BC=a，由余弦定理的推論cosB=■，所以a2+c2-ac=b2=3，設c+2a=m，代入上式并整理得7a2-5am+m2-3=0，Δ=84-3m2≥0故m≤2■

當m=2■時，此時a=■，c=■符合題意，

因此最大值為2■.

例2.在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且B=2A，求■的取值范圍.

分析：本題的核心概念仍然是三角形的邊角關系，解題思路還是根據正弦定理，把關于邊的代數式轉化為三角式，從而求三角函數的值域；但是，本題的另一個核心概念是“銳角三角形”，只有關注到它，才能正確確定出函數的定義域。

簡解：在銳角△ABC中，∵B<■ ∴A=■<■

∵A+B=π-C>■ ∴3A>■ ∴A>■

∴■

由正弦定理得：■=■=■=2cosA

∴2cos■<2cosA<2cos■ ∴■<■<■

綜上所述，■的取值范圍為（■，■）.

例3.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，求x的取值范圍.

分析：本題的核心概念是“三角形有兩個解”，由此確定出函數的定義域即可.

簡解：∵■=■=2■ ∴a=2■sinA

因為A有兩個值，所以a>b，故A>45°

∵A+C=135° ∴45°

又若A=90°也是一解，所以■

所以x的取值范圍是（■，2■）.

例4.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，設f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2，若f（2）=0，求角C的取值范圍。

分析：本題的核心概念仍然是邊角關系，但轉化的方向是由邊到角，具體方法是由余弦定理和均值不等式可得cosC的范圍，再通過解三角不等式得角C的取值范圍。

簡解：因為f（2）=0，所以4a2-2（a2-b2）-4c2=0，即a2+b2-2c2=0

由余弦定理，得cosC=■=■，

所以cosC=■≥■=■（當且僅當a=b時取等號）

所以cosC≥■，而角C是銳角，又因為余弦函數在（0，■）上單調遞減，所以角C的取值范圍（0，■].

例5.已知鈍角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，其最大內角不超過120°，求a的取值范圍.

分析：本題易錯，原因是容易忽視核心概念三角形之邊邊關系。事實上，若三角形的三邊長均含有參數，一定要考慮構成三角形的邊邊關系，即任意兩邊之和大于第三邊.

簡解：因為鈍角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，且其最大內角不超過120°

a+（a+1）>a+20>■≥-■ ∴解得■≤a<3

故a的取值范圍是（■，3].

例6.在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范圍.

分析：本題給出的條件是四邊形，但核心概念仍然是三角形及其邊角關系，考慮到AD是可以變化的，作出圖形，平移AD，當點A與點D重合于點E時，AB最長，當AD與CF重合時AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置時AB的長，即可求出AB的范圍。

簡解：如圖所示，

∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°，又BC=2，

所以當點D與點C重合時，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■，

所以當點D與點A重合時，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因為ABCD為四邊形，所以AB的取值范圍為（■-■，■+■）.

？誗編輯 郭小琴