問題導引 逐層深入

周先華 謝發超

[摘 要]數學抽象是高中數學核心素養的六大組成部分之一.數學抽象核心素養培養是高中數學教學的核心.在課堂教學中，為了讓學生實質性地參與數學抽象的每一個過程，可以采用問題導引、逐層深入的方法.

[關鍵詞]問題；數學抽象；核心素養；案例

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02000903

一、對高中數學核心素養下的數學抽象的認識

高中數學核心素養包括六個方面，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些核心素養既相互獨立，又相互交融，是一個有機的整體.

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養.一切數學對象都是抽象思維的產物.高中數學核心素養視角下數學抽象主要表現為：（1）獲得數學概念與規則；（2）提出數學命題與模型；（3）形成數學

思想

與方法；（4）認識數學結構與體系.

數學抽象包括四個方面：

1.同向思維的數學抽象.即思維在原來方向上的繼續，它主要包括弱抽象和類比聯想等方法.

2.逆向思維的數學抽象.指與原先思維相反方向上的思考與研究，它往往能發現原命題中的前提是否為相應結論的充要條件，可以加深學生對有關概念的本質特性的認識，從而促進概念的精確化.它主要包括強抽象、精確化與完備化的思維方法.

3.悖向思維的數學抽象.即背離原來的認識并在直接對立的層面上探索新的發展可能性.它雖然與已建立的認識直接相對立，但并不意味著直接的矛盾，而只是表明新的研究是與已有的認識相沖突.能否自覺地應用悖向思維，即能否自覺地沖破舊有思想的束縛，對于一些重要的發現往往具有決定性的意義.

4.審美直覺的數學抽象.“數學發明即是選擇”（龐加萊語），而正是審美直覺起著這種特殊的“選擇”作用.因此，可以“美的追求”作為數學中自覺的創造性活動的指導性原則，而形成通常所說的“數學中的美學方法”，它主要包括四個原則：簡單性、統一性、對稱性和奇異性.

二、案例研究

1.尋求來源，問題初探，獲得概念與規則

【例1】 [《普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學》（以下簡稱“教材”，必修2，第144頁，復習參考題B組第5題]已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，

直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.求證：直線l恒過定點.

[設計意圖]通過教材上的習題，引導學生分析、理解“恒”的含義.把原直線l：

（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0

轉化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0后，為什么方程組

2x+y-7=0x+y-4=0

恒成立？顯然，直線l恒過定點是相對于實數m的變化而言的，即無論m的值怎樣改變，等式m（2x+y-7）+（x+y-4）=0恒成立，所以

2x+y-7=0x+y-4=0

，即直線l恒過定點（3，1）.讓學生親自參與知識（恒成立）的形成過程.

【例2】 通過上述例題，你認為可以怎樣判定一條直線是否過一定點？怎樣求出這個定點的坐標？

[設計意圖]引導學生歸納出解題的通法.這是從特殊到一般的弱抽象過程，體現同向思維的數學抽象過程.這對學生數學抽象思維能力的提高有著極其重要的作用.當然，學生還可以根據直線方程的點斜式方程求其定點.

【例3】 已知點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M.試根據下列條件分別求點M的軌跡方程.

（1）（選修2-1，第41頁例3）直線AM與BM的斜率之積為-49；

（2）（選修2-1，第55頁探究）直線AM與BM的斜率之積為49；

（3）（選修2-1，第80頁復習參考題A組第10題）點A、B分別為△ABC的兩個頂點且AC與BC的斜率之積為m（m≠0），試探求頂點C的軌跡方程.

[設計意圖]通過對相似問題的求解，形成對一類問題的求解方法及結果的類比研究.通過對從特殊到一般問題[例3第（3）問]的求解，再次強化弱抽象這種正向數學抽象在數學解題中的應用，從而促使學生數學核心素養的提高.

【例4】 已知點A、B的坐標分別為（-1，0），（1，0），直線AM、BM相交于點M.試根據下列條件分別求點M的軌跡方程.

（1）（選修2-1，第42頁練習第4題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的商為2.

（2）（選修2-1，第74頁B組第3題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為2.

（3）（選修2-1，第81頁B組第5題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的和為2.

[設計意圖]通過運用例3形成的求解方法，再解決相似問題，體現類比這種數學抽象方法的應用.

【例5】 通過例3和例4，你有什么感悟？

[設計意圖]一個開放性的問題，讓學生可以從條件“已知兩直線的斜率的和（或差、積和商）為常數”的應用、求軌跡方程的五步法、軌跡的完備性等多角度思考和總結，既可以形成對解決這類問題的通法，又對數學審美直覺的簡單性、統一性有了直觀的感知，進而提高學生數學審美直覺的數學抽象思維能力.

2.一題多解，思維發散，提出命題與模型

【例6】 （2017年全國高考新課標Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓C：

x2a2+y2b2=1

（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1.證明：l過定點.

[設計意圖]通過類比例3、4的通法，把點A、B的坐標代入

kP2A+kP2B=-1

中得到

k=-m+12

，再類比例1的方法，代回到直線的方程中得

y=-m+12x+m

，即

m（x-2）+（x+2y）=0

或

y+1=-m+12（x-2）

，從而得直線過定點（2，-1）.

這種方法是在例1至例5的基礎上的靈活應用.讓數學思維經歷了從特殊到一般的弱抽象，再從一般到特殊的強抽象過程.這種數學抽象方法的循環運用，給學生以極大的數學思維層面的深層次享受.

【例7】 分組合作探究：請你用不同的方法求解例6第（2）問.

[設計意圖]一題多解.既探尋知識之間的聯系又訓練學生對通性通法的理解與運用能力.

通過合作探究，學生得出以下解題方法.

解法一：根據直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，設其中一條直線的斜率為k，則另一條直線的斜率為-1-k，從而根據兩直線的點斜式方程分別與橢圓方程聯立求解得A、B兩點的坐標，再寫出直線AB的方程，最后運用例2總結的方法得解.

這種解法在解析幾何也常用，其關鍵是減少解題過程中的待定系數（由原來的k，m減少到只有k）.

解法二：特殊值法.即根據位置找到直線可能過的定點為（2，-1）后，再證明過此定點的直線l一定符合題意，從而得解.

特殊值法在解選擇題時常用，但把它用來求解這類恒成立問題卻往往非常實用.它實際上是一種逆向的思維方法，可提高學生的逆向思維能力.

解法三：參數法.根據橢圓的參數方程，設它們的坐標為

A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）

.代入條件kP2A+kP2B=-1中得到參數α、β的關系式，再代入直線l的方程中，仍然由例2的方法得解.

【例8】 例6（2）改為（前面所有條件不變）：設直線l不經過點P（0，-1）且與C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：l過定點.

[設計意圖]采用例6完全相同的解題方法，可以求解得此時直線過定點（-2，-1）.一題多變是命題的基本策略之一.此問題中把點由（0，1）變為其關于x軸的對稱點P（0，-1）后，得出對稱的結論：原命題中定點（2，-1）與本問題中定點（-2，-1）也關于y軸對稱.引導學生對已形成的通法進行鞏固，實際上是強、弱抽象方法的再次運用，這種對問題的改變，是培養學生數學思維方法與能力的最好方法.

【例9】 把例6中第（2）問改為：若直線P2A與直線P2B的斜率的和為非零實常數p（其他條件不變），還能證明直線l過定點嗎？若能，請求出定點的坐標.

[設計意圖]仍然通過與例6完全相同的解法，求證出直線l過定點（-2p，-p）.把常數-1用常數p表示后，增加了運算難度，強化了通法的應用，培養了學生的弱抽象能力及運算能力.

三、對核心素養視角下數學抽象能力培養的思考

1.強化逆向思維訓練

逆向思考是數學發現（或發明）最有力的方法之一.如果一個問題的解答陷入毫無希望的狀況時，試著把這個問題顛倒過來，把問題作為論據，把論據作為問題，往往會收到意想不到的效果.

教育承載著培養創新人才的重任.但創新人才需要創造性思維，而創造性思維的一個重要成分就是逆向思維.高中數學內容中有非常多的逆向思維的實例.比如，逆運算（對數與指數等）、逆命題、函數與反函數、微分與積分、立體幾何的性質與判定等.只要教師在數學課堂中經常提示逆向的本質，就不但能讓學生把新知識合理地建構在原有的知識體系上，達到溫故而知新的效果，還能讓學生不斷地認識逆向思維的過程和方法，把數學課堂變成培養學生核心素養的天堂.逆向思維的訓練，既能提高學生一題多解、一題多變的解題能力，又能訓練學生的批判性思維能力和創造性思維能力.因此，逆向思維的訓練過程就是核心素養的養成過程.

2.轉變數學知識觀

素養不是知識，但知識的積累是素養形成的必要而不充分條件.數學知識不是被儲存的一堆事實，而是數學的思維方式.伴隨知識社會的到來，知識的價值正與日俱增.在信息時代，要讓知識的學習過程成為素養的形成過程，關鍵是要使數學知識的形成過程成為課堂教學的對象和可利用的資源，讓知識成為教學探究活動的“副產品”.即知識是過程，而非產品.上述例題的解決過程即是題型及其通法的教學過程，也是學生數學抽象思維能力的培養過程，即數學核心素養的形成過程.

（1）在數學概念課中培養數學抽象能力

重視“雙基”教學是我國數學教育的優良傳統.數學核心素養是在掌握數學知識的基礎上，在數學活動中逐步形成的.從數學抽象的四個表現來看，數學概念又是最基本的.概念是思維的單元和細胞，概念組成命題，命題形成判斷，數學

思想

與方法是數學知識在更高層次的抽象和概括.重視概念教學，提升概念教學水平，其中最重要的是抓數學概念形成的教學，要選取學生熟悉的典型實例，提供豐富的生活背景材料，創設恰當的情境，讓學生經歷完整的數學概念的形成過程.

（2）在復習課、方法總結中提升數學抽象能力

通法的總結歸納與形成既是從特殊到一般的弱抽象，也是數學審美直覺中的統一性、簡單性與對稱性的直接體現；根據題型的通法解決問題又是從一般到特殊的強抽象.因此，復習課、方法總結課是非常重要的數學抽象素養的培養課型.

3.轉變數學方法觀，倡導深度學習與協作學習

一切知識，只有成為學生探究與實踐的對象時，其學習過程才有可能成為素養發展的過程.因此，轉變數學知識的學習方式是素養發展的前提.為此，一要倡導深度學習，讓數學知識學習成為批判性思維和數學問題解決的過程；二要倡導協作學習，讓知識學習成為交往與協作，即集體創造知識的過程.在此過程中，學生的數學抽象能力和其自主發展、合作參與、創新實踐等能力都能得到提高，從而讓數學知識的學習過程真正成為學生數學核心素養的培養過程.

（責任編輯 黃桂堅）