例談高中數(shù)學(xué)解題技巧之“三角代換”

李宇珂

【摘 要】 “三角代換”是一種常見的數(shù)學(xué)解題方法，在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。這種解題技巧將一些運(yùn)算復(fù)雜、思路古怪的難題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角中的恒等式進(jìn)行解題。在本文中，我就試著分析了三角代換在函數(shù)求最值、數(shù)列問題、不等式證明中的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；解題技巧；三角代換；應(yīng)用

小學(xué)和初中階段的數(shù)學(xué)問題往往難在運(yùn)算，而到了高中時(shí)期數(shù)學(xué)解題就難在對(duì)題的解析和思路上。三角代換的解題方法就是給我們解題提供了一種思路，在遇到難題時(shí)想辦法將其轉(zhuǎn)化為我們所能解決的問題。通過將所求設(shè)為已知，化難為易，將無從下手的題型變?yōu)槿呛瘮?shù)的計(jì)算，大大降低了難度。

一、在函數(shù)最值中的應(yīng)用

在解決一些函數(shù)問題時(shí)三角代換往往有奇效，比如在求函數(shù)最值的時(shí)候，可以利用三角函數(shù)恒等式來解答。將代數(shù)問題有效地轉(zhuǎn)化為三角問題，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行換元和變形，從而解決問題。

例1：求y=√1-x^2的值域

解題思路：解題思路：首先我們根據(jù)題示信息得出x∈[-1，1]，然后設(shè)x=sint，t∈[0，2π）那么√1-x^2 =cost。原函數(shù)就變成了y=sint+cost∈[-√2 ，√2 ]，√1-x^2 ≥0，通過計(jì)算求解得出x∈[-1，1]。從這題我們可以看出，在一些難度頗高的函數(shù)問題中，我們很難通過常規(guī)的計(jì)算得出問題的答案，而需要在解題思路上多花些功夫，運(yùn)用三角代換的方式將根號(hào)下的數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角函數(shù)運(yùn)算，這樣一來極大的簡(jiǎn)化了解題過程。

二、在數(shù)列問題中的應(yīng)用

從近幾年的考試題中不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查正在逐漸增強(qiáng)，數(shù)列題的難度和解法也越來越刁鉆。針對(duì)這一現(xiàn)象，熟練利用三角代換解決數(shù)列中的疑難問題已經(jīng)是我們所必須要掌握的解題手段了。

例2：Sn=sin21°+sin22°+sin23°+……sin289°。

在這道題當(dāng)中89項(xiàng)相加，而且是三角函數(shù)值在運(yùn)算起來如果沒有特殊的方法是很難做到的。這時(shí)候我們就必須利用sin2θ+cos2θ=1，1+tan2θ=sec2θ，1+cot2θ=css2θ這幾個(gè)恒等式來進(jìn)行解題。

首先，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為：

Sn=sin2（90°-89°）+sin2（90°-88°）+sin2（90°-87°）+……sin245°+sin246°+……sin289°.

Sn=cos289°+cos288°+cos287°+……+cos246°+sin245°+sin246°+……+sin289°.

Sn=cos289°+sin289°+cos288°+sin288°+……+cos246°+sin246°+sin245°

Sn=1+1+1+……+1+

Sn=1×44+

Sn=44.5

在這道題的解答過程中，我們先是將復(fù)雜的數(shù)列各項(xiàng)之間建立起三角函數(shù)的聯(lián)系，然后利用倒序求和的方式排列出來組合求解。由此可見，三角代換在數(shù)學(xué)解題過程中的巧妙使用能把一些繁瑣的運(yùn)算項(xiàng)簡(jiǎn)單化，從而為我們解題提供大大的便利。

三、在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合一直以來都是我們解題過程中的有效手段，實(shí)際上用三角代換來解不等式也是數(shù)形結(jié)合的一種表現(xiàn)。在一些數(shù)學(xué)題中，已知條件過少我們很難對(duì)原題直接進(jìn)行求解，這時(shí)候就需要用代換的方式將其中的變量替換成適合的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性對(duì)已知條件進(jìn)行補(bǔ)充和豐富，建立起各項(xiàng)條件之間的邏輯關(guān)系，方便我們解題。

例3：已知x2+y2=1，求證：|x2+2xy-y2|≤√2 。

從題目來看，我們可以將已知條件看作是圓的方程式，然后通過圓和三角函數(shù)之間的代換，求出不等式的區(qū)間值。

證明過程：設(shè)x=acosθ，y=asinθ，a≥0，0≤2π，結(jié)合已知條件x2+y2≤1，可以求出a2≤1，

那么可知|x2+2xy-y2|=a2|sin2θ+cos2θ|=a2 | √2 sin（2θ+ ）| ≤√2 a2≤√2。

還有一道曾經(jīng)在數(shù)學(xué)奧賽上出現(xiàn)過的不等式問題也有著相當(dāng)重要的借鑒意義，當(dāng)時(shí)可謂是難倒了不少的數(shù)學(xué)尖子生，我在這里也跟大家一起分享。

例4：假設(shè)a、b、A、B∈R，如果對(duì)于任意的x∈R而言，f（x）=1-acos-bsinx-Acos2x-Bsin2x≥0均成立，試著證明a2+b2≤2。

根據(jù)已知條件的分析我們不難得出，代數(shù)式acosx+bsinx存在著三角函數(shù)的聯(lián)系，那么我們就可以利用平方關(guān)系的恒等式來進(jìn)行解題。

假設(shè)√a^2+b^2 >2，令 =sinθ， =sinφ，

取x1= -θ，x2= +x1= -θ，那么根據(jù)計(jì)算sin2（x1+φ）<0，f（x1）<0，故而a2+b2≤2。

這個(gè)例題正好說明了三角代換在解題中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也揭示了三角代換和幾何、代數(shù)及不等式之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更注重?cái)?shù)學(xué)思維和應(yīng)變能力的培養(yǎng)，在浩瀚的題海中我們不能死板地看待問題，而應(yīng)該多方面地思考，并充分應(yīng)用換元的思路解題。三角代換正是利用三角函數(shù)的特點(diǎn)以及平方關(guān)系的恒等，給我們解題和運(yùn)算都帶了來極大的便利，在解題的過程中我們要有意識(shí)地對(duì)這個(gè)方法加以應(yīng)用，把所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，從而使難題迎刃而解。當(dāng)然，我個(gè)人的水平畢竟有限，對(duì)于三角代換的具體應(yīng)用技巧還有待完善，這就需要我們大家一起在今后做題解題過程中不斷豐富和完善這個(gè)解題方法。

【參考文獻(xiàn)】

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