數(shù)學(xué)教學(xué)要突出學(xué)科基本思想

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要突出教學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)學(xué)科分支所具有的獨(dú)特的基本思想。“橢圓的基本性質(zhì)”是解析幾何內(nèi)容，其教學(xué)定位應(yīng)該是“用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)”。為此，教學(xué)中要建立用解析法研究幾何問(wèn)題的基本規(guī)范，明確研究的基本路徑：沿著x、y、（x，y）以及x2a2+y2b2=1（a>b>0）這樣從單一到復(fù)合、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從局部到整體的思路進(jìn)行研究；要突出地強(qiáng)調(diào)從方程得到代數(shù)結(jié)果，再對(duì)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行幾何解釋的基本過(guò)程。

關(guān)鍵詞：學(xué)科基本思想 解析幾何 橢圓的基本性質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科由很多不同的分支構(gòu)成，這些分支除了具有一些數(shù)學(xué)共同的思想方法，還具有自身獨(dú)特的基本思想。這種思想的獨(dú)特性決定了它們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)觀念方面的不同作用。數(shù)學(xué)教學(xué)要突出教學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)學(xué)科分支所具有的獨(dú)特的基本思想。比如，解析幾何教學(xué)要突出“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的基本思想，因?yàn)槲覀兩系氖墙馕鰩缀握n。下面，以《橢圓的基本性質(zhì)》一課為例，談一點(diǎn)做法和體會(huì)。

一、教學(xué)定位

從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)看，學(xué)習(xí)初中平面幾何和高中立體幾何，包括研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，大多先畫(huà)出圖形，從直觀上進(jìn)行觀察，進(jìn)而“猜”出圖形的性質(zhì)，接著進(jìn)行邏輯證明（用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，根本沒(méi)有證明，甚至連證明的必要性也沒(méi)有說(shuō)明）。因此，學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生的習(xí)慣思維就是用圖像觀察的方法“猜想”相關(guān)的性質(zhì)，再用橢圓的方程驗(yàn)證猜想的正確性。從數(shù)學(xué)一般性研究的角度來(lái)看，這也不失為一種思路。

不過(guò)，因?yàn)槲覀兘虒W(xué)的是“解析幾何”，而解析幾何的基本思想是“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”，具體到這一部分內(nèi)容就是“用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)”。所以，從圖形“猜”性質(zhì)的教學(xué)方法與本節(jié)內(nèi)容的學(xué)科基本思想不符，而本節(jié)課的教學(xué)定位應(yīng)該是“用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)”。從這個(gè)意義上說(shuō)，本節(jié)課（研究的過(guò)程中）不一定需要“圖”。

二、教學(xué)過(guò)程

根據(jù)上述定位，我們?cè)O(shè)計(jì)并實(shí)施了以下教學(xué)過(guò)程（簡(jiǎn)錄）：

（一）問(wèn)題引入

三、教學(xué)思考

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中一對(duì)非常重要的辯證關(guān)系的兩個(gè)方面。由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性要求，我們一直很重視“形”的直觀性在教學(xué)中的作用。這并沒(méi)有錯(cuò)，但在無(wú)形中讓學(xué)生形成了“看圖說(shuō)話”“依圖說(shuō)理”的習(xí)慣，久而久之，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性就被削弱了，以為所見(jiàn)即為實(shí)。比如，教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”時(shí)，我們常常根據(jù)圖像得出結(jié)論，但是這些函數(shù)圖像多是用描點(diǎn)法得到的，能保證精確嗎？事實(shí)上，數(shù)學(xué)中并不是通過(guò)圖像發(fā)現(xiàn)單調(diào)性，而是通過(guò)單調(diào)性、極值點(diǎn)、奇偶性、漸近線、凹凸性、拐點(diǎn)等畫(huà)出圖像（草圖）的。因此，解析幾何對(duì)于彌補(bǔ)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)上的缺陷有著不可替代的作用，解析幾何教學(xué)必須具有“解析味”，堅(jiān)持“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的基本思想。

為了突出解析幾何的基本思想，就要建立用解析法研究幾何問(wèn)題的基本規(guī)范。所以本課的開(kāi)始階段，教師在引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容的同時(shí)，突出說(shuō)明了解析幾何研究的基本步驟：幾何問(wèn)題代數(shù)化（求曲線方程），用代數(shù)的方法進(jìn)行研究（用方程研究曲線性質(zhì)）；在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步具體化：曲線的性質(zhì)是由曲線上的點(diǎn)具有的性質(zhì)（點(diǎn)及點(diǎn)之間的關(guān)系）決定的，而對(duì)方程的研究即是對(duì)方程解的研究，于是二者在交匯處（x，y）得以溝通。由此可以明確研究的基本路徑：沿著x、y、（x，y）以及x2a2+y2b2=1（a>b>0）這樣從單一到復(fù)合、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從局部到整體的思路進(jìn)行研究。

上述研究流程得到的結(jié)果正是曲線性質(zhì)的幾個(gè)重要方面，是從解析角度研究曲線幾何性質(zhì)的重要內(nèi)容。橢圓的研究作為圓錐曲線研究的典型案例，具有示范價(jià)值，為其他圓錐曲線甚至更多曲線的研究提供了范式。對(duì)此，教學(xué)中通過(guò)完善的板書(shū)與最后的小結(jié)進(jìn)行了強(qiáng)化。

另外，教學(xué)中突出強(qiáng)調(diào)了從方程得到代數(shù)結(jié)果，再對(duì)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行幾何解釋的基本過(guò)程，凸顯了解析幾何的基本思想。