數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該注重通性通法

摘 要：數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“多題一解”，注重通性通法。以解決含有多個變量的問題、“含參數(shù)不等式恒成立（或能成立）問題”、求數(shù)列通項(xiàng)的問題的教學(xué)為例，說明：通性通法的教學(xué)價值是定向解題思路，教學(xué)策略是變式題組教學(xué)。

關(guān)鍵詞：解題教學(xué) 通性通法 題組教學(xué)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型。在教學(xué)中，有些教師比較青睞一題多解，欣賞靈巧解法。一題多解雖然有助于提高學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，但是容易使通性通法被埋沒，降低教學(xué)效率。靈巧解法不僅需要靈活地使用條件或巧妙地把握問題

，而且運(yùn)用面較窄、影響面較小，從而導(dǎo)致學(xué)生聽起來感到十分神奇，用起來很快就會淡忘。因此，我們更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“多題一解”，注重通性通法。

一、通性通法的教學(xué)價值：定向解題思路

章建躍博士指出：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。由此，筆者認(rèn)為，“通性通法”就是以基礎(chǔ)知識為依據(jù)，以基本技能為依托，應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等體現(xiàn)出來的通用基本性質(zhì)解決問題的通用思想方法，它的思考方式通常合乎一般的思維規(guī)律，即“通用性質(zhì)與通用方法”。

顯然，通性通法不僅可以解決一道題，而且可以解決一類題。掌握了一類題的通性通法，再去解決這類題中的某道題時，就會有一個清晰的思路或明確的方向，可以避免盲目的摸索、試探，節(jié)省分析、求解的時間。

二、通性通法的教學(xué)策略：變式題組教學(xué)

顯然，通性通法應(yīng)該從多個問題解法的分類整理、歸納總結(jié)中獲得。教學(xué)中，教師應(yīng)該對典型例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑臁⒆儞Q、引申、拓展（一題多變），以表象的改變凸顯實(shí)質(zhì)的不變，引導(dǎo)學(xué)生對原來的問題進(jìn)行深入周密的思考，由表及里、由此及彼，探索問題的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，觸類旁通、舉一反三，歸納總結(jié)通性通法。

比如，解決“含參數(shù)不等式恒成立（或能成立）問題”的通性通法是轉(zhuǎn)化為“函數(shù)最值問題”。其常見的轉(zhuǎn)化策略一是不分離參變量，將不等式變形成“f（x）≥0”或“f（x）≤0”的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為fmin（x）≥0或fmax（x）≤0；二是分離參變量，將不等式變形成“m≥g（x）”或“m≤g（x）”的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為m≥fmax（x）或m≤fmin（x）。對于具體問題，究竟采用哪種方法，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行選擇。教學(xué)中，便可以通過如下的“一題多變”，揭示相同背景下問題的解題過程，引導(dǎo)學(xué)生體悟理解通性通法。

這里，問題1是不等式恒成立問題，變式1-1是不等式能成立問題，形式不同，但都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題。變式1-2則是在相同背景函數(shù)下“雙函數(shù)雙變量”的既有“恒成立”又有“能成立”的問題。變式1-3則是改變背景函數(shù)，提升變形難度的不等式恒成立問題。這些變式，依據(jù)內(nèi)容的邏輯順序，考慮學(xué)生的接受能力，由淺入深、由簡到繁，一步一步地引導(dǎo)，不斷加強(qiáng)學(xué)生對這類問題通性通法的認(rèn)識、理解、掌握。

再如，解決求數(shù)列通項(xiàng)的問題的通性通法是對已知遞推關(guān)系式適當(dāng)變形，構(gòu)造等差（比）數(shù)列。對于具體問題，究竟如何變形，比較靈活，可以根據(jù)遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行選擇。教學(xué)中，便可以通過如下的“一題多變”，揭示不同背景下問題的解題策略，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本質(zhì)的、普遍的通性通法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（11）.