逐層分類：數學概念教學的有效方法

摘 要：要獲得和理解概念，就要對紛繁的研究對象進行不斷的分類，從而得到具有特殊屬性的一個子類，準確、深刻地挖掘概念的內涵。以“百分數的意義”和“正比例的意義”為例，說明：在小學數學概念教學中，教師合理運用逐層分類的方法，可以使概念的獲得水到渠成，使概念的理解準確深刻，使概念的建立融于知識體系，使概念的探索過程異彩紛呈。

關鍵詞：概念教學 逐層分類 百分數 正比例

概念是人類知識的基礎內容，本質是特征相似性的集合，揭示了一類事物的共同屬性。分類是人類思維的基本方式，即根據研究對象某一角度下的相同點和不同點，將其分為不同種類。要獲得和理解概念，就要對紛繁的研究對象進行不斷的分類，從而得到具有特殊屬性的一個子類，準確、深刻地挖掘概念的內涵。基于分類的結果，不但能清晰、準確地獲得和理解概念，而且能逐層深入地建立和把握概念的結構和系統。通過分類的過程，既可以培養思維的周密性、條理性，又可以提升研究問題、探索規律的能力。因此，在概念教學中，教師應該合理運用逐層分類的方法。對此，筆者進行了實踐與思考。

百分數的概念有兩個本質屬性：分母是100和表示兩個數量的倍數關系。因此在教學中，筆者創設情境，提供豐富、全面的研究素材，引導學生經歷兩次分類，得到“分母是100又表示兩個數量的倍數關系”這一子類，隨后點明這樣的分數就是百分數，概括總結得到百分數的意義。兩次分類的過程，就是引領學生自我探索、自我發現和自我歸納百分數概念兩個本質屬性的過程。因為有了直觀感受、經歷體驗和交流碰撞，所以概念的理解和掌握在兩次分類中水到渠成，思考和探索的能力也在兩次分類中漸臻成熟。

（二）蘇教版小學數學六年級下冊“正比例的意義”

1.出示問題情境。

（教師創設情境，引導學生初步理解什么是“兩種相關聯的量”。）

師 生活中有很多反映數量的例子，我們再來看幾個例子。

（出示圖1。）

2.第一次分類。

師 以上5組數量，你能把它們分成兩類嗎？說說分類的標準。

生 根據表中數量“是否是兩種相關聯的量”這個標準，把①②③⑤分成一類，把④單獨分成一類。

（教師引導學生按照標準檢驗分類是否正確。）

3.第二次分類。

師 ①②③⑤中都是兩種相關聯的量，我們用關系式來表示他們之間的關系。請分別說說每組的數量關系式。

（學生回答，課件同步在表格旁邊呈現相應的關系式。）

師 根據數量關系式，你能將①②③⑤再分成兩類嗎？說說分類的標準。

生 根據“兩種量是否是相除或相比關系”這個標準，把①②③分為一類，把⑤單獨分為一類。

4.第三次分類。

師 現在繼續研究①②③這一類，這三個表格都給出了兩種量的幾組對應值。請你根據①寫出路程和時間的比并分別求出比值，根據②寫出總價和數量的比并分別求出比值，根據③寫出面積和邊長的比并分別求出比值。這些比值分別表示什么？你發現了什么？

（學生計算、回答。）

師 現在你能把①②③再分成兩類嗎？分類的標準是什么？

生 根據“比值是否一定”這個標準，把①②分成一類，把③單獨分成一類。

5.揭示正比例的意義。

師 經過三次分類，得到的①②這一類中的兩種量有什么共同的特點？

生 兩種相關聯的量，有相除或相比的關系，且比值一定。

（教師同步板書。）

師 像①②中有這樣特點的兩種量，在數學上就叫作成正比例的量，它們的關系就叫作正比例關系。

（教師引用例子，讓學生辨析概念、鞏固理解：①中的路程和時間是成正比例的量嗎？為什么？②中的總價和數量是成正比例的量嗎？為什么？③中的面積和邊長是成正比例的量嗎？為什么？⑤中的已走的路程和未走的路程是成正比例的量嗎？為什么？）

正比例的概念理解起來比較抽象。所以在教學中，筆者提供比較豐富、全面的研究素材后設計了三次分類：第一次分類感受“兩種相關聯的量”，比較容易理解；第二次分類深挖兩點理解，即相關聯的量通常可以用四則運算表示相互關系，而此處要研究的是有相除或相比關系的兩種量；第三次分類，繼續縮小外延，得到相除或相比關系中比值不變的子類，由此點明這樣的兩種量在數學中叫作成正比例的量。數量是抽象的，關系是更抽象的。

因此，這里創設了“看得見、摸得著”的研究素材，引導學生經歷了三次分類。

隨著分類不斷精細，研究對象的外延越來越小，內涵越來越清晰明了，最終得到符合概念本質的子類，概念的理解和掌握自然而然。

二、教學反思

對于小學數學中的一些概念，尤其是高年級的很多概念，運用逐層分類的方法教學，不僅有助于落實“學生主體，教師主導”的教育理念，而且有助于更好地達成知識、方法、能力、情感等方面的教育目標。

（一）使概念的獲得水到渠成

小學數學中的概念通常有兩到三個本質屬性。小學階段，學生的思維以形象思維為主，離不開具體感性的素材支撐。他們認知水平不高，沒有能力在繁雜的材料中一下子感知多個本質屬性。所以，可以從概念的內涵出發，借助學生熟悉的素材作為研究對象，引領學生逐層分類，從而讓概念的本質屬性在分類的思考與探索中水到渠成，化抽象于無形，達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的效果。

（二）使概念的理解準確深刻

小學階段，學生思維處于形象思維逐步向抽象思維過渡的發展階段，重視具體、直觀、感知、體驗是必要的，但是忽視對事物本質特征的抽象與概括，勢必影響學生抽象能力和概括能力的發展，也會造成學生對概念的理解流于粗糙和膚淺。逐層分類的方式可以較好地促進學生精準而深刻地理解概念。每一次探索思考“分類標準”，就是一次撥開表象，概括抽象，就是一次推動理解的進一步精準和深刻。

（三）使概念的建立融于知識體系

邏輯學指出：下定義是揭示內涵的基本邏輯方法，其基本結構是“被定義的概念=種差[同與之并列的其他種概念（下位概念）之間的主要差別]+鄰近的屬概念（上位概念）”。可見，一個定義式的數學概念就是“概念的概念”，即處于一個知識體系中。比如，百分數概念和低年段的“小明錢數是小紅錢數的3倍”、五年級的“小明錢數是小紅錢數的1.5倍”、六年級的“小明錢數是小紅錢數的58”涉及的概念同屬于一個知識體系，都是兩個數之間的倍數關系，但是又有自己獨特的屬性。所以，運用逐層分類的方法幫助學生逐步建立百分數概念在表示兩個數倍數關系的概念體系中的正確位置，將它納入知識體系中，不但能使學生全面、深刻地理解新概念，而且能使原有概念得到充實和發展。

（四）使概念的探索過程異彩紛呈

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：學生是數學學習的主體，要在積極參與有效的數學活動中促進學生的全面發展；數學活動經驗的積累是提高學生數學素質的重要標志；幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標。在概念教學中創設研究情境，設計一次又一次的分類探索和交流的數學活動，就是為學生提供這樣的發展機會。學生在這一過程中經歷思考、交流、辨析，思維與思維碰撞，語言和語言交鋒，能夠激發出一波又一波的精彩之處。

參考文獻：

[1] 彭漣漪，余式厚.寫給中學生的邏輯學[M].北京：北京大學出版社，2010.