基于單元知識結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)目標和重難點確立

摘 要：基于單元知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計，要求教師以單元為基本單位，進行單元教學(xué)目標和重難點的分析，從而形成目標系統(tǒng)，指引教學(xué)的方向。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第一單元《平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱》為例，說明：單元教學(xué)目標的確立可以從學(xué)科性、關(guān)聯(lián)性、應(yīng)用性三個方面進行；單元教學(xué)重點的確立可以從學(xué)科知識和學(xué)科評價兩個方面進行；單元教學(xué)難點的確立有學(xué)習(xí)心理和教學(xué)反思兩個來源。

關(guān)鍵詞：單元教學(xué) 目標 重點 難點 圖形的運動

教學(xué)目標和重難點分析是對教學(xué)的總體考慮，是整個教學(xué)設(shè)計過程的引導(dǎo)性環(huán)節(jié)，它們共同形成目標系統(tǒng)，指引教學(xué)的方向。徐文彬教授提出基于單元知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計時，要求教師以單元為基本單位，進行單元教學(xué)目標和重難點的分析。

為了展現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)目標和重難點的確立方式，筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第一單元《平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱》為例，從單元教學(xué)目標、單元教學(xué)重點和單元教學(xué)難點三個方面的確立略做闡述。

一、單元教學(xué)目標的確立

單元教學(xué)目標的確立是首要內(nèi)容，它直接關(guān)乎學(xué)生學(xué)什么的問題，并為后續(xù)的單元教學(xué)重點確立和單元教學(xué)難點確立提供依據(jù)。下面結(jié)合單元知識結(jié)構(gòu)的理念，以整體性視角審視單元教學(xué)目標，將其分為三個方面進行分析：

（一）學(xué)科性

學(xué)科性指向?qū)W科自身的各種內(nèi)容（如學(xué)科框架、學(xué)科特點、學(xué)科思維等），是單元教學(xué)目標的首要因素。關(guān)注學(xué)科性意味著反思所教知識的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、價值以及學(xué)習(xí)方式等，通過對這些方面的分析促使數(shù)學(xué)課堂生發(fā)出具有數(shù)學(xué)味的學(xué)科價值與意義。

具體來說，從學(xué)科性到單元教學(xué)目標，首先要構(gòu)建一個包括學(xué)習(xí)內(nèi)容（本單元的知識結(jié)構(gòu)）、學(xué)習(xí)活動（學(xué)習(xí)知識所運用的活動方式）和學(xué)習(xí)結(jié)果（學(xué)習(xí)所獲得的經(jīng)驗）三個方面的學(xué)習(xí)框架，其次要對學(xué)習(xí)框架中的三個方面進行組合。基于此，可以把單元教學(xué)目標描述為學(xué)生在本單元中通過怎樣的活動，學(xué)習(xí)怎樣的內(nèi)容，獲得怎樣的結(jié)果。可以看出，這樣確立的單元教學(xué)目標兼顧了學(xué)習(xí)過程與結(jié)果。

本單元中，以圖形運動的知識結(jié)構(gòu)為出發(fā)點，主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容可以分為運動的直觀表象、意義以及性質(zhì)和特點、整體聯(lián)系三個層次。在此基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)活動可以分為觀察與感知、操作與描述、歸納與總結(jié)、拓展與運用四個層次。由此得出的學(xué)習(xí)結(jié)果包括知識與技能、思想與能力、情感態(tài)度與價值觀三個方面。這就是本單元的學(xué)習(xí)框架。

從內(nèi)容層次上看，直觀表象是前置內(nèi)容，意義以及性質(zhì)和特點是主要內(nèi)容，整體聯(lián)系是拓展內(nèi)容。從活動層次上看，觀察與感知是基礎(chǔ)活動，操作與描述是主要活動，后兩個層次的活動基于前兩個層次的活動進行，并且指向意義以及性質(zhì)和特點，還有整體聯(lián)系。從結(jié)果層次上看，不管內(nèi)容與活動層次如何，每個部分的學(xué)習(xí)都應(yīng)該兼有知識與技能、思想與能力、情感態(tài)度與價值觀的獲得。

通過對學(xué)習(xí)框架不同方面的組合，即可得到本單元的單元教學(xué)目標。比如，意義以及性質(zhì)和特點、操作與描述、知識與技能三個方面組成的單元教學(xué)目標是：能在方格紙上判斷三種運動并進行描述，能在方格紙上進行簡單運動的操作。

需要注意的是，基于學(xué)科性得來的學(xué)習(xí)框架只能確立一部分單元教學(xué)目標，它的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此還需要對外部結(jié)構(gòu)（即關(guān)聯(lián)性和應(yīng)用性）進行分析。外部結(jié)構(gòu)應(yīng)依附于內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即無論是關(guān)聯(lián)性還是應(yīng)用性，都是對學(xué)科性的補充與完善。

（二）關(guān)聯(lián)性

內(nèi)部結(jié)構(gòu)所包含的各種知識往往不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科，而且對其他學(xué)科也有所涉及。關(guān)聯(lián)性是指知識可能在多個學(xué)科上具有意義和價值，并且可以在不同學(xué)科間相互聯(lián)系，以使學(xué)習(xí)者有更深刻的認識。因此，關(guān)聯(lián)性就成為單元教學(xué)目標的應(yīng)有之義。

對關(guān)聯(lián)性的分析，首先要明確本單元知識可能存在的學(xué)科視角，即了解哪些知識在哪些相關(guān)學(xué)科中有所體現(xiàn)；其次要以該學(xué)科的視角對知識進行具體分析，即探究某知識在該學(xué)科中具有怎樣的意義，以及背后存在怎樣的概念背景、學(xué)科思維等；最后要將分析內(nèi)容回歸數(shù)學(xué)學(xué)科，即將相關(guān)學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科進行對比，分析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而得到更深刻的數(shù)學(xué)意義，由此形成相應(yīng)的單元教學(xué)目標。這要求教師具有全學(xué)科視野，以一種整體聯(lián)系的視角看待學(xué)科知識和單元教學(xué)目標。

本單元中，圖形概念與運動概念都具有關(guān)聯(lián)性。

圖形所蘊含的美感是數(shù)學(xué)問題的一種內(nèi)在情境因素。對圖形的學(xué)習(xí)就是對美感的體驗和經(jīng)歷，設(shè)計、制作相應(yīng)的主題更是創(chuàng)造美的過程。讓學(xué)生欣賞圖案，思考通過怎樣的運動得到圖案，嘗試運用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的方法得到圖案，并進一步設(shè)計、制作圖案，是一個將數(shù)學(xué)應(yīng)用與審美、手工融為一體的課題，也是一個能夠?qū)?chuàng)新精神與實踐能力的培養(yǎng)結(jié)合起來的載體。因此，讓學(xué)生從運動的角度欣賞生活中的圖案并設(shè)計圖案是一個單元教學(xué)目標。

運動與物理學(xué)科聯(lián)系密切。從物理學(xué)的角度看，要考慮物體運動的速度、加速度和位移；從數(shù)學(xué)的角度看，要研究運動前后物體的形狀、大小有沒有改變，位置關(guān)系發(fā)生了什么變化。這是學(xué)科之間研究內(nèi)容的差異。從物理學(xué)視角上看，平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱分別是一維運動、二維運動和三維運動，對應(yīng)于一維空間、二維空間和三維空間，這反映出三種運動的一種層次性；從數(shù)學(xué)視角上看，平移和旋轉(zhuǎn)都可以通過兩次軸對稱得到（反之不行），這使軸對稱顯得更具有基礎(chǔ)性，反映出三種運動的另一種層次性。這是不同學(xué)科對同一內(nèi)容的不同解釋。運用數(shù)學(xué)視角審視物理視角，從而得到不同視角之間的聯(lián)系性甚至是內(nèi)容的本質(zhì)，是關(guān)聯(lián)性的價值所在。因此，讓學(xué)生從多個思維視角體驗運動就成為另一個單元教學(xué)目標。

（三）應(yīng)用性

外部聯(lián)系的另一方面是應(yīng)用性。它是指在生活實踐中進行知識應(yīng)用，既強調(diào)生活實踐的重要性，認為其是學(xué)生已有經(jīng)驗的直接來源；又強調(diào)知識應(yīng)用的重要性，認為其是學(xué)生對知識理解的重要體現(xiàn)。

對應(yīng)用性的分析，首先要將生活氣息融入教學(xué)中，使學(xué)習(xí)不僅是單調(diào)的知識掌握，而且是實踐活動、操作游戲或生活體驗；其次要思考生活實踐與相應(yīng)知識的內(nèi)在聯(lián)系，即生活實踐是否可以作為情境和練習(xí)，促進相應(yīng)知識的理解和運用；最后要將學(xué)科知識置于真實情境中，形成復(fù)雜任務(wù)，促使學(xué)生協(xié)調(diào)運用各種復(fù)雜認知技能，完成面向?qū)嶋H的學(xué)習(xí)任務(wù)。

本單元中，針對應(yīng)用性，單元教學(xué)目標強調(diào)讓學(xué)生欣賞生活中的圖案，設(shè)計具有實踐意義的圖形。一方面，通過生活情境，增強運動教學(xué)的可接納性和趣味性；另一方面，以生活為契機，增加運動的可思維層次，豐富運動所需思考的方面。由此，使學(xué)生更全面、更熟練地理解、掌握知識。進一步，要求學(xué)生運用所學(xué)知識解決生活中的運動問題。學(xué)生在生活中具有豐富的圖形平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱運動的經(jīng)驗，把這些經(jīng)驗作為學(xué)習(xí)運動豐富多彩的現(xiàn)實背景，同時也要將其與數(shù)學(xué)中的運動相互聯(lián)結(jié)，反過來更好地觀察、認識生活中的運動現(xiàn)象，以數(shù)學(xué)的眼光和思維看待生活、思考生活、經(jīng)歷生活、體驗生活。

另外，應(yīng)用性也具有社會建構(gòu)意義。在各種基于生活實踐的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生總是作為“群體”存在，會進行各種數(shù)學(xué)話題的交流討論、合作探究等。這不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和思考能力，而且可以促進學(xué)生社交情感和數(shù)學(xué)情感的豐富。因此，應(yīng)用性的意義也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)情感的綜合上。

綜合地看學(xué)科性、關(guān)聯(lián)性和應(yīng)用性，三者共同體現(xiàn)出一種兼顧本質(zhì)、整體和實際的數(shù)學(xué)觀。單元教學(xué)目標即是對這種數(shù)學(xué)觀的直接表達，以期更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

結(jié)合以上分析，本單元的主要單元教學(xué)目標如表1所示。目標1、2主要來自于學(xué)科性，目標3主要來自于關(guān)聯(lián)性和應(yīng)用性，而目標4、5則兼顧三方面。這種分配不是絕對的，可以說，幾乎每個目標都是相互聯(lián)系的。目標1、2是本單元的基礎(chǔ)；目標3以目標1、2為基礎(chǔ)，比目標1、2更能促進目標4、5的實現(xiàn)，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要生發(fā)點。

二、單元教學(xué)重點的確立

單元教學(xué)重點是目標體系中的第二個方面，通過單元教學(xué)重點的確立，教師可以幫助學(xué)生分清學(xué)習(xí)的主次，將注意力放在主要部分，這是一種重要的認知策略。從單元的視角來看，可以從兩個方面確立單元教學(xué)重點：

（一）學(xué)科知識

學(xué)科知識是單元教學(xué)重點的主要來源，教師可以從學(xué)科知識中歸納出單元教學(xué)重點。具體來看，學(xué)科知識視角下的單元教學(xué)重點主要有兩個方面：一是內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點知識，一是知識背后的數(shù)學(xué)思想。

知識結(jié)構(gòu)以內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)的形式呈現(xiàn)，而節(jié)點知識則是其中的重要樞紐，具有牽一發(fā)而動全身的作用。教師應(yīng)該清楚本單元知識的整體分布，并基于知識本身進行價值分析；然后對相關(guān)知識鏈進行分析，得出本單元知識所處的地位，以及與前后知識的聯(lián)系。知識背后的數(shù)學(xué)思想是另一個方面，它反映單元知識在整體結(jié)構(gòu)中的價值。

本單元中，三種運動的意義以及性質(zhì)和特點最能反映運動知識的價值。因此，對三種運動的認識是教學(xué)重點之一。這種價值性要求深刻認識圖形的運動，從簡單的觀察和感知上升為反思，有數(shù)學(xué)性的操作和描述等。由此，需要引入方格紙進行運動的認識，在方格紙上進行三種運動的操作更能體現(xiàn)出其關(guān)鍵點：平移的描述要說出距離和方向，旋轉(zhuǎn)的描述要說出旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)中心，軸對稱的描述要說出對稱軸。這些關(guān)鍵點對整個圖形運動的知識結(jié)構(gòu)來說具有基礎(chǔ)意義。

本單元中，圖形運動的動態(tài)視角與圖形位置的靜態(tài)視角相對，構(gòu)成圖形認識的一種手段和途徑。因此，考慮三種運動如何對應(yīng)相應(yīng)的位置以及三種運動如何影響圖形的認識也是教學(xué)重點之一。前者要求學(xué)生體會運動與位置的直接聯(lián)系，即往往用運動前后的位置變化來描述運動的過程，運動是基于位置的想象而來的，對位置的認識與對運動的認識具有一致性。后者要求學(xué)生在運動中有目的地觀察物體，即運動中的圖形是否有變化，有哪些變化，這種變化是否有規(guī)律，有哪些規(guī)律等。這可以促進學(xué)生從動態(tài)的視角認識圖形，如平行四邊形的面積就可以通過運動轉(zhuǎn)化為長方形的面積，從而得到面積相同的結(jié)論。

本單元的圖形運動知識背后所滲透的變換思想在一定程度上給原有的圖形領(lǐng)域提供了更高的數(shù)學(xué)觀點和更新的研究視野，為該領(lǐng)域提供了必要的補充。所以，本單元的教學(xué)重點還包括：體現(xiàn)圖形運動相對于其他知識不可或缺的數(shù)學(xué)思想價值。三種運動的特性在于運動前后的對應(yīng)性和不變性（也稱為剛體運動）。具體來看，對應(yīng)性包括：平移前后對應(yīng)點之間的連線互相平行（或者重合）且相等；旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，且對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角；軸對稱前后對應(yīng)點到對稱軸的距離相等，且對稱軸垂直平分對應(yīng)點之間的連線。不變性是指每種運動前后圖形的形狀、大小都不變化。更抽象地看，這種對應(yīng)性和不變性表明圖形運動實際上就是圖形變換。變換不僅僅指向圖形，它是指某個集合符合一定要求的一種對應(yīng)規(guī)律。圖形變換是通過點的變換實現(xiàn)的，點可以作為集合中的元素，而點所對應(yīng)的數(shù)也可以作為集合中的元素，它們可以表示兩個對應(yīng)的集合，這就初步反映了數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）學(xué)科評價

學(xué)科評價是單元教學(xué)重點的另一個來源，對于學(xué)生來說，評價是一種重要的學(xué)習(xí)需要，既是一種自我檢驗，也是一種公認準則。學(xué)科評價視角下的單元教學(xué)重點確立要從知識的考查與檢驗出發(fā)，兼顧評價問題的基礎(chǔ)性與開放性。

具體來看，評價問題的基礎(chǔ)性是指評價問題注重操作與描述等基礎(chǔ)性內(nèi)容，從而要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識。因此，本單元的教學(xué)重點就包括根據(jù)描述畫圖和按照運動做出描述。這實際上是數(shù)學(xué)符號與具體表象的轉(zhuǎn)化，重在技能的掌握，并兼顧運動的意義。比如，要將圖1所示的圖形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，重點在于如何判斷圖形的位置。如果基于樸素的經(jīng)驗進行判斷，則需要很大的思維投入，且容易出錯。如果基于旋轉(zhuǎn)的意義進行判斷，則只要尋找運動前后的圖形與旋轉(zhuǎn)三要素之間的關(guān)系，便更容易操作。根據(jù)不變性，選原有圖形具有代表性的部分，如旗桿這條線，就可以推斷出旋轉(zhuǎn)前后的兩條線交于點A，形成一個90°的角，且長度相等。這就把問題轉(zhuǎn)化為已知一個90°角的一條邊和頂點，尋找另一條邊。

評價問題的開放性是指評價問題常常變化多端且層次豐富，從而要求學(xué)生有靈活運用和創(chuàng)造的能力。因此，本單元的教學(xué)重點還包括通過變式開放地表達圖形的運動情況。在具體評價中，無論圖形類型還是運動形式，都存在大量的變式。比如，“如圖2所示，說出如何由圖形A的位置運動到圖形B的位置”這一問題就分為一種答案、多種答案、無數(shù)答案三個層次。雖然每種層次都是對運動的基礎(chǔ)運用，但是背后包含了想象運動所有可能的結(jié)果，并對結(jié)果進行歸納與綜合的開放思維過程。

結(jié)合以上分析，本單元的單元教學(xué)重點如表2所示。重點1、2對應(yīng)于學(xué)科知識視角，重點3對應(yīng)于學(xué)科評價視角。相比之下，學(xué)科知識視角較為靜態(tài)，學(xué)科評價視角較為動態(tài)，學(xué)科評價是對學(xué)科知識有針對性的應(yīng)用。

三、單元教學(xué)難點的確立

單元教學(xué)難點關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)中可能存在的困難。學(xué)習(xí)是外在的知識結(jié)構(gòu)與內(nèi)在的認知結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系的過程，在這一過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)心理就成為單元教學(xué)難點確立的重要來源。而對一線教學(xué)來說，雖然教學(xué)難點指向?qū)W生，但是教師的教學(xué)反思往往更能把握學(xué)生的困難所在，因此教學(xué)反思是單元教學(xué)難點確立的另一個重要來源。

（一）學(xué)習(xí)心理

學(xué)習(xí)心理的個體性、復(fù)雜性和不確定性等決定了教學(xué)存在難點?；趯W(xué)習(xí)心理的分析，在單元學(xué)習(xí)中往往存在著比較普遍的認知困難，這些認知困難構(gòu)成了單元教學(xué)難點。

學(xué)生在圖形運動的學(xué)習(xí)中普遍存在的認知困難包括從具體到抽象的思維深化、經(jīng)驗的負遷移以及解決具體問題等。

圖形的運動主題形式較為具體，但是其背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵比較抽象。由于圖形與幾何領(lǐng)域的特殊性，其抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)涵不是從概念的分析、演繹中得到的，而是通過觀察、操作、想象、感悟等活動不斷深化而來的。這需要學(xué)生有大量的感知和準確的體驗，不但要“眼中有圖”，而且要“腦中有圖”。如果學(xué)生缺乏相應(yīng)的感性認識，就難以展開抽象的思維活動，從而不能較快、較好地理解知識。比如，學(xué)生由于感覺經(jīng)驗的豐富，能很快地找到平移和軸對稱的聯(lián)系；而因為感覺經(jīng)驗的缺乏，幾乎無法直觀地找到旋轉(zhuǎn)和軸對稱的聯(lián)系，甚至難以接受旋轉(zhuǎn)和軸對稱有聯(lián)系。此外，觀察學(xué)生的操作過程可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往能較好地完成單獨的運動操作任務(wù)，但是，當被要求完成包含運動聯(lián)系性的操作任務(wù)時，學(xué)生往往束手無策，只能進行大量無意義的試誤。這也是因為運動聯(lián)系性背后的抽象性需要足夠的直觀經(jīng)驗作為依托，而這恰恰是學(xué)生缺乏的?？梢哉f，本單元

涉及從形象思維過渡到表象思維，最后到抽象思維的思維轉(zhuǎn)換過程，每次思維轉(zhuǎn)換都存在潛在的學(xué)習(xí)困難。

不過，豐富的經(jīng)驗有時也會成為教學(xué)難點的來源，負遷移便是如此。當前置經(jīng)驗和現(xiàn)有知識存在某種表面上相似、實質(zhì)上不同的因素時，前者就會對后者造成干擾，產(chǎn)生負遷移。比如，學(xué)生日常生活中的“平移”經(jīng)驗可能會影響某對平移運動的理解：對于汽車行駛、人走路以及摩天輪旋轉(zhuǎn)等運動，學(xué)生往往會自動將運動主體簡化成一個整體，從而根據(jù)它的整體運動趨勢判斷它是怎樣的運動，所以會認為汽車行駛、人走路都是平移運動，而摩天輪旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn)運動。

（二）教學(xué)反思

教學(xué)反思是教師日常教學(xué)的一個重要組成部分。將教學(xué)反思與單元教學(xué)難點的確立相聯(lián)系，可以使教學(xué)反思更具操作性、實效性，也可以使單元教學(xué)難點的確立更加全面、有意義。

教師與學(xué)生共同經(jīng)歷教學(xué)活動，擁有關(guān)于學(xué)生所存在的“疑難雜癥”的大量一手資料。教學(xué)反思時，教師可以對這些資料進行收集、整理與運用。從這一角度來說，每個教師都是本班學(xué)生學(xué)習(xí)心理的理論構(gòu)造者，同時也是本班學(xué)生學(xué)習(xí)心理的實踐指導(dǎo)者。他們一方面聚焦一般學(xué)習(xí)心理所指向的教學(xué)難點，思考一般性的學(xué)習(xí)心理是否與本班學(xué)生的學(xué)習(xí)情況相符；一方面反思是否存在其他方面的教學(xué)難點，以創(chuàng)造出具有價值的教學(xué)難點。“教學(xué)-反思-難點”的過程實際上是教師將教學(xué)實在心理學(xué)化并以此推理出學(xué)生的學(xué)習(xí)困難的過程，是將實踐中得到的學(xué)科教學(xué)知識轉(zhuǎn)化為有理論意義的教學(xué)難點的過程。

除了一般心理之外，本單元的教學(xué)難點還可能是旋轉(zhuǎn)的復(fù)雜性、運動的動態(tài)性和圖形的變式。很多教師反映旋轉(zhuǎn)這一運動是學(xué)生最難理解的，有人認為這是因為學(xué)生缺少旋轉(zhuǎn)的生活經(jīng)驗；有人覺得這是因為學(xué)生缺少對旋轉(zhuǎn)的操作體驗；有人反映學(xué)生在面對旋轉(zhuǎn)時，自發(fā)地將其列為困難運動，從而產(chǎn)生一種潛在的困難傾向。一些教師指出對圖形從靜止狀態(tài)認識發(fā)展到運動狀態(tài)認識的轉(zhuǎn)變也是教學(xué)難點之一，認為學(xué)生習(xí)慣了研究靜止狀態(tài)下的數(shù)學(xué)問題，因此研究運動狀態(tài)下的數(shù)學(xué)問題時，就需要一種新的學(xué)習(xí)模式，這往往需要花費更多的時間，涉及更多的思維進程，也就存在更多的困難。也有教師指出運動的主體也會影響學(xué)習(xí)難度，比如相比于直角三角形，學(xué)生在進行一般三角形的運動時更容易產(chǎn)生困難。

結(jié)合以上分析，本單元的單元教學(xué)難點如表3所示。

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