從錯誤中學習

劉成龍　鄧萬強

[摘 要] 以一道區級調考錯題為例，展示了從錯誤中學習的四個方面：（1）發現錯誤——學習的起點；（2）分析錯誤——學習的核心；（3）糾正錯誤——學習的目標；（4）問題提升——學習的升華.

[關鍵詞] 發現錯誤；分析錯誤；糾正錯誤；問題提升

從科學的發展歷程來看，通向真理的道路常常是以錯誤為基石. 一個較為圓滿的成果背后包含工作者們無數次從錯誤到正確的修正與調整. 數學學科的進步也毫無例外. 比如：1640年前后法國數學家費馬斷言素數表達式為：對于任何非負整數n，表達式F=22n+1均給出素數. 大約100年后，1732年數學大師歐拉發現F=225+1=641×6700417不是素數，從而推翻了費馬猜想. 又如：在微積分的蓬勃發展時期，引進一致連續概念以前，包括柯西在內數學家們對收斂函數項級數可以逐項積分都深信不疑，幾乎所有的數學家都確信連續函數一定是可微的. 1872年魏爾斯特拉斯給出了歷史上第一個處處連續但不可微的例子，進而引發了對函數具有“反常”性態的深入研究. 可見，錯誤非但不是數學中的“包袱”，反而是促進數學發展的一劑良藥，正是錯誤和正確的交織推動著數學的向前發展. “從錯誤中學習”是新課程背景下提倡的一種重要學習策略. 它體現了教學方式的深刻變革，是現代教學觀下的一種教育機智. 文中以一道區級調考試錯題為例，展示“從錯誤中學習”的過程.

案例 （某市區級調考試題）如圖1，點D，E，F分別在△ABC的三邊上，E是AC的中點，AD，BE，CF交于一點G，BD=2DC，S=2，S=22，則△DGC的面積是______.

為便于敘述這里先對案例中試題的條件進行編號：

①E是AC的中點；

②AD，BE，CF交于一點G；

③BD=2DC；

④S=2；

⑤S=22.

發現錯誤——學習的起點

這里給出試題的兩種解法：

解法1 ①⑤S=11 ④S=9 ③S =3.

解法2 ③⑤S=①④S=4S=.

解法1、2都正確，但出現了兩種不同的結果，這是為什么呢？

分析錯誤——學習的核心

法國數學家阿達瑪指出：“即使優秀的數學家也經常犯錯，不過他能很快地發現并糾正”.

分析1 ==， 由①⑤可知S=9，S=4，故=，這與③矛盾；

分析2 ===，設S=x，則S=x，S=4x，故S=5x=11，解得x=≠2；即S≠2，這與④矛盾；

分析3 當S=2時，由分析2可知S=8，故S=10，解得S=20，這與⑤矛盾；

分析4 由前文分析可知S=，S=3，所以S=-3-2-2=，故A，D，G不共線，這與②矛盾.

可以發現，原題的條件間互不相容，是一道錯題！為了加深對錯誤的認識，下面看看試題的背景：

塞瓦定理 如圖（原題圖），G是S內一點，連接AG，BG，CG，并分別延長交BC，CA，AB于D，E，F，則··=1.

因為··=··，由塞瓦定理可得：··=1或S·S·S=S·S·S.

可以發現G點一旦確定，三角形每條邊上的兩線段的比值確定，且G與任意兩定點構成三角形中的兩小三角形比值確定. 這可以看成是此模型下的內在屬性. 于是G、線段比值、面積大小必須達到內在和諧，否則將會出現相互矛盾的情形. 文中的錯因正是由G、線段比值、面積大小間矛盾所致.

糾正錯誤——學習的目標

該題目的糾正方式有以下幾種：

改進1 其余條件不變，將⑤中的S=22改為S=20即可.

改進2 其余條件不變，將④中的S=2改為S=即可.

改進3 其余條件不變，將③中的BD=2DC改為BD=DC不共線即可.

改進4 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點G改為B，G，E不共線即可.

改進5 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點G改為A，G，D不共線即可.

問題提升——學習的升華

對錯題深入了解后，“你能把問題推廣到更一般的情形嗎？”（波利亞語）.

推廣1 如圖（原題圖），AD，BE，CF交于一點G，BD=mDC，AE=nEC，S=22，則△DGC的面積是S=.

證明 設S=x，S=y，由BD=mDC，AE=nEC，可得S=mx，S=ny，

于是（m+1）x+y=，x+（n+1）y=， 解得x=，y=， 即S=.

推廣2 如圖，若△ABC的面積為1，BG ∶ GF ∶ FC=m ∶ 1 ∶ n，CE ∶ DE ∶ AD=s ∶ 1 ∶ t，

則S=-.

證明 設S=mx，S=sy，由題意得S=（n+1）x，S=（t+1）y，

于是mx+（n+1）x+sy=，（n+1）x+sy+（t+1）y=，解得x=，y=-.

令S=nu，S=sv，則S=（m+1）u，S=（t+1）v，

得nu+（m+1）u+sv=，nu+sv+（t+1）v=.

解得

u=，v=-.

故S=S-S-S

=-mx-nu-sv

=-.

特別地，當m=n=s=t=1時，有AD=DE=EC，BG=GF=FC， 此時S=.

教學啟示

文中的案例展示了“從錯誤中學習”的過程：發現錯誤、分析錯誤、糾正錯誤和問題提升，其中發現錯誤是“學習”的起點、分析錯誤是“學習”的核心、糾正錯誤是“學習”的目標，問題提升是“學習”的升華. 同時，錯誤分析是“學習”的難點，分析錯誤是“學習”的關鍵點，問題提升是整個“學習”的亮點. 整個過程在析錯、糾錯中揭示了錯誤的本質，在提升中將案例“學習”推向了高潮. 可見，“從錯誤中學習”是一種有益的學習方式. 教學中的錯誤很多，包括知識錯誤、邏輯錯誤、心理錯誤、策略錯誤等等. 面對錯誤，我們需要有容納錯誤的胸懷，而不是對錯誤的簡單摒棄. 教學中犯錯的主體有教師、學生以及知識載體（教材、教輔等），尤其面臨學生的錯誤，我們應該給予更多的寬容與接納. 因此，將錯誤開發成寶貴的學習資源、教育資源我們責無旁貸！